Maximum-Likelihood < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $ [mm] \Theta [/mm] = [mm] (0,\infty) [/mm] $ und seien $ [mm] x_1,...,x_n$ [/mm] Realisierungen von unabhängigen,identisch verteilten Zufallsvariablen $ [mm] X_1,...,X_n,$ [/mm] die einer $ [mm] N(0,\sigma^2)-$ [/mm] Verteilung mit $ [mm] \sigma^2 \in \Theta$ [/mm] folgen.
$ a)$ Berechnen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer von$ [mm] \sigma^2$ [/mm] für $ [mm] x_1,..,x_n$ [/mm]
$ b)$ Zeigen sie,dass der Maximum-Likelihood-Schätzer aus$ a) $ erwartungstreu ist.
$ c) $ Zeigen sie,dass der Maximum-Likelihood-Schätzer aus $ a)$ konsistent ist. |
a)
ich würde da $log L [mm] (\sigma; X_1,....,X_n)= [/mm] log( [mm] \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} [/mm] * [mm] \frac{1}{\sigma} [/mm] * [mm] e^{-\frac{1}{2}*(\frac{x-\mu}{\sigma})^2} [/mm] )$ anwenden.
weiterhin ist bekannt [mm] \mu [/mm] = 0
also
$log L [mm] (\sigma; X_1,....,X_n)= [/mm] log( [mm] \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} [/mm] * [mm] \frac{1}{\sigma} [/mm] * [mm] e^{-\frac{1}{2}*(\frac{x}{\sigma})^2} [/mm] ) = log( [mm] \frac{1^n}{(\sqrt{2\pi}*\sigma)^n} [/mm] * [mm] e^{\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2})}= log(\frac{1}{(\sqrt{2\pi}*\sigma)^n})*\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2}) [/mm] $
also $log L [mm] (\sigma; X_1,....,X_n)=log(\frac{1}{(\sqrt{2\pi}*\sigma)^n})*\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2}) [/mm] $
jetzt hab ich irgendwie keine Ahnung mehr.... -.-
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ich habe irgendwie das falsche Forum ausgewählt sorry...:/
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> Ich habe irgendwie das falsche Forum ausgewählt sorry...:/
Ich kann das nicht abstreiten ;) Habe nur zufällig in dieses Forum geschaut.
> also [mm]log L (\sigma; X_1,....,X_n)=log(\frac{1}{(\sqrt{2\pi}*\sigma)^n})*\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2})[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> jetzt hab ich irgendwie keine Ahnung mehr.... -.-
Tipp: $\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2})=\frac{1}{2*\sigma^2}\sum_{i=1}^{n}(-x^2_i})$
Hilft der?
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Fast übersehen: [mm] $\log [/mm] ab = [mm] \log [/mm] a + [mm] \log [/mm] b$, deshalb statt
> [mm]log L (\sigma; X_1,....,X_n)= log( \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} * \frac{1}{\sigma} * e^{-\frac{1}{2}*(\frac{x}{\sigma})^2} ) = log( \frac{1^n}{(\sqrt{2\pi}*\sigma)^n} * e^{\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2})}= log(\frac{1}{(\sqrt{2\pi}*\sigma)^n})*\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2})[/mm]
eher
[mm]log L (\sigma; X_1,....,X_n)= log( \produkt_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} * \frac{1}{\sigma} * e^{-\frac{1}{2}*(\frac{x}{\sigma})^2} ) = log( \frac{1^n}{(\sqrt{2\pi}*\sigma)^n} * e^{\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2})}= log(\frac{1}{(\sqrt{2\pi}*\sigma)^n})+\sum_{i=1}^{n}(-\frac{x^2_i}{2*\sigma^2})[/mm]
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[mm] $log(\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}*\frac{1}{\sigma^n})+(-\frac{1}{2\cdot{}\sigma^2})\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
[mm] $\gdw -\frac{n}{2}log(2\pi)+-nlog(\sigma)+(-\frac{1}{2\cdot{}\sigma^2})\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
substituiere [mm] $t=\sigma^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow -\frac{n}{2}\cdot{}log(2\pi)+-n\cdot{}log(\sqrt{t})+(-\frac{1}{2\cdot{}t})\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
[mm] $LogL(\sigma^2, x_1,..,x_n)=-n*\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t^2}\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
jetzt extrema berechnen
[mm] $0=-n*\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t^2}\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
[mm] $\gdw \frac{n}{2t}= \frac{1}{2t^2}\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
[mm] $\gdw n\cdot{}t= 1\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
[mm] $\gdw [/mm] t= [mm] \frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
resubstituiert $t= [mm] \sigma^2$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \sigma^2= \frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] $
$b)$ erwartungstreu
[mm] $E[\sigma^2]= E[\frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] ]= [mm] \frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}E[x^2_i]= \frac{1}{n}\cdot{}n\cdot{}E[x^2]= E[x^2] [/mm] $ ist erwartungstreu
$c)$
leider weiss ich nicht ,wie man richtig die konsistenz prüft
muss ich da zeigen,dass$ [mm] E[X_n] \to [/mm] a$ und [mm] $Var(X_n) \to [/mm] 0$ ,dass dann [mm] $X_n \overbrace{\to}^{p}a$
[/mm]
??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:01 Mo 02.02.2015 | | Autor: | luis52 |
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> [mm]log(\frac{1}{(\sqrt{2\pi})^n}*\frac{1}{\sigma^n})+(-\frac{1}{2\cdot{}\sigma^2})\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
>
> [mm]\gdw -\frac{n}{2}log(2\pi)+-nlog(\sigma)+(-\frac{1}{2\cdot{}\sigma^2})\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
>
> substituiere [mm]t=\sigma^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -\frac{n}{2}\cdot{}log(2\pi)+-n\cdot{}log(\sqrt{t})+(-\frac{1}{2\cdot{}t})\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
>
> [mm]LogL(\sigma^2, x_1,..,x_n)=-n*\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t^2}\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
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>
> jetzt extrema berechnen
>
> [mm]0=-n*\frac{1}{2t}+\frac{1}{2t^2}\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
>
> [mm]\gdw \frac{n}{2t}= \frac{1}{2t^2}\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
>
> [mm]\gdw n\cdot{}t= 1\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
>
> [mm]\gdw t= \frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
>
> resubstituiert [mm]t= \sigma^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \sigma^2= \frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i[/mm]
Moin, du musst mit der Notation aufpassen und zwischen Schaetzer und zu schaetzendem Parameter unterscheiden. Setze z.B. [mm] $\widehat{\sigma^2}= \frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i$ [/mm] zur Unterscheidung von der Modellvarianz [mm] $\sigma^2$.
[/mm]
>
> [mm]b)[/mm] erwartungstreu
>
> [mm]E[\sigma^2]= E[\frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i ]= \frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}E[x^2_i]= \frac{1}{n}\cdot{}n\cdot{}E[x^2]= E[x^2][/mm]
> ist erwartungstreu
Und?
Zeige [mm] $\operatorname{E}[\widehat{\sigma^2}]=\sigma^2$.
[/mm]
>
> [mm]c)[/mm]
>
> leider weiss ich nicht ,wie man richtig die konsistenz
> prüft
>
> muss ich da zeigen,dass[mm] E[X_n] \to a[/mm] und [mm]Var(X_n) \to 0[/mm]
> ,dass dann [mm]X_n \overbrace{\to}^{p}a[/mm]
Zeige [mm] $\operatorname{E}[\widehat{\sigma^2}]\to\sigma^2$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[\widehat{\sigma^2}]\to [/mm] 0$. Die erste Eigenschaft ist klar wegen [mm] $\operatorname{E}[\widehat{\sigma^2}]=\sigma^2$.
[/mm]
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$b)$
Voraussetzung
$Var(X)= [mm] E[X^2]-(E[X])^2 [/mm] , $da$ E[X]=0 $und $Var(X)= [mm] \sigma^2 \Rightarrow E[X^2]= \sigma^2$
[/mm]
$ [mm] \operatorname{E}[\widehat{\sigma^2}]= E[\frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}x^2_i [/mm] ]= [mm] \frac{1}{n}\cdot{}\sum_{i=1}^{n}E[x^2_i]= \frac{1}{n}\cdot{}n\cdot{}E[X^2]= [/mm] $ laut Voraussetzung = [mm] \sigma^2 \Rightarrow
[/mm]
$ [mm] \operatorname{E}[\widehat{\sigma^2}]= \sigma^2$
[/mm]
konsistenz:
[mm] $Var(\widehat{\sigma^2})= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n}Var(X_i^2) =\frac{1}{n^2} \cdot{} [/mm] n [mm] \cdot{}Var(X_1^2) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}*Var(X_1^2)= \frac{\sigma^4}{n} \to [/mm] 0 ( n [mm] \to \infty)$
[/mm]
Im Bei text war geben ,dass wir nicht zeigen müssen,dass
[mm] $Var(X)<\infty$
[/mm]
ist
.Also ist der Schätzer auch konsistent
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 03.02.2015 | | Autor: | luis52 |
> [mm]Var(\widehat{\sigma^2})= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n}Var(X_i^2) =\frac{1}{n^2} \cdot{} n \cdot{}Var(X_1^2) = \frac{1}{n}*Var(X_1^2)= \frac{\sigma^4}{n} \to 0 ( n \to \infty)[/mm]
>
Kleiner Schoenheitsfehler:
[mm] $\operatorname{Var}(X_1^2)=\sigma^2\operatorname{Var}((X_1/\sigma)^2)=2\sigma^2$, [/mm] da [mm] $X_1/\sigma$ [/mm] standardnormalverteilt und
[mm] $(X_1/\sigma) [/mm] ^2$ somit [mm] $\chi^2(1)$-verteilt [/mm] ist.
Sonst kann ich keinen Fehler entdecken.
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