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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:23 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Mathec |
| Aufgabe | Die Dichte einer (speziellen Form der) Pareto-Verteilung sei in Abhängigkeit der Verteilungsparameter v>0 und [mm] x_{0}>0 [/mm] gegeben durch
[mm] f(x;v,x_{0})=\begin{cases}\bruch{v}{x_{0}} (\bruch{x_{0}}{x})^{v+1}, & \mbox{für } x \ge x_{0} \\ 0, & \mbox sonst \end{cases}
[/mm]
Schätzen sie die beiden Parameter [mm] v,x_{0} [/mm] mit der Maximum-Likelihoodmethode auf der Grundlage der Realisation [mm] (x_{1},...,x_{n}) [/mm] einer einfachen Stichprobe der Länge n. |
Hallo Leute!
Bin mir mit obiger Aufgabe etwas unsicher!
Habe zuerst die gemeinsame Dichte berechnet und komme danach auf die Log-Likelihood-Fkt: [mm] lnL=n*ln(v)+n*v*lnx_{0}+(v+1)\summe_{i=1}^{n}ln\bruch{1}{x_{i}}.
[/mm]
Den Schätzer von v erhalte ich ja, indem ich lnL nach v ableite,also:
[mm] \bruch{n}{v}+n*ln(x_{0})+\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{x_{i}} [/mm] und diesen Ausdruck Null setzen,ergibt aufgelöst nach v: v= [mm] \bruch{-n}{n*lnx_{0}+\summe_{i=1}^{n}ln\bruch{1}{x_{i}}}=\bruch{-n}{n*lnx_{0}-\summe_{i=1}^{n}lnx_{i}}. [/mm] Stimmt das soweit??
Wenn ich jetzt aber nach [mm] x_{0} [/mm] ableite,erhalte [mm] ich:n*v*\bruch{1}{x_{0}}=0...wie [/mm] interpretiere ich nun den Schätzer für [mm] x_{0},da [/mm] ich ja nicht explizit nach [mm] x_{0} [/mm] auflösen kann?
Bin für jede Hilfe dankbar!
Mathec
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Sa 24.05.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Mathec,
bist du dir sicher, dass die Likelihood im Optimum differenzierbar ist?
vg Luis
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Mathec |
Wieso denn nicht? Wie soll ich denn sonst den ML-Schätzer berechnen?
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Mathec |
Meinst du eigentlich nur den ML-Schätzer von [mm] x_{0}? [/mm] Stimmt der von v???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Sa 24.05.2008 | | Autor: | luis52 |
> Meinst du eigentlich nur den ML-Schätzer von [mm]x_{0}?[/mm] Stimmt
> der von v???
Kommt mir nicht ganz koscher vor. *Ich* erhalte
[mm] $L=v^nx_0^{nv}/(\prod x_i)^{v+1}$ [/mm] und somit [mm] $\ln L=n\ln v+nv\ln x_0-(v+1)\sum\ln x_i$...
[/mm]
vg Luis
PS: Hab's korrigiert. Wir kriegen beide dieselbe Likelihoodfunktion heraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Sa 24.05.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Nadine,
> Wieso denn nicht? Wie soll ich denn sonst den ML-Schätzer
> berechnen?
Na, setze doch mal $v=1$. Wie sieht denn dann die Likelihoodfunktion aus?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 25.05.2008 | | Autor: | Mathec |
Also: v=1 ergibt
lnL=n*ln1 + n*1*ln [mm] x_{0} [/mm] - [mm] 2*\summe_{i=1}^{n} [/mm] ln [mm] x_{i}=
[/mm]
n*ln [mm] x_{0} [/mm] - [mm] *\summe_{i=1}^{n} [/mm] ln [mm] x_{i}...
[/mm]
Sorry,aber ich hab keine Ahnung,was mir jetzt auffallen soll???? Klar,wenn ich jetzt wieder nach [mm] x_{0} [/mm] ableiten will,steh ich vor dem selben Problem wie bei meiner 1.Frage...Kannst du mir nochmal erklären,auf was du hinaus willst?
Danke schonmal für deine Hilfe 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 So 25.05.2008 | | Autor: | luis52 |
>..Kannst du mir nochmal erklären,auf was du hinaus
> willst?
>
Wenn $v=1$ ist, lautet die Dichte [mm] $f(x;1,x_0)=x_0/x^2$ [/mm] fuer [mm] $x\ge [/mm] x0$ und
0 sonst. Angenommen, du hast die Beobachtungen [mm] $x_1=2$ [/mm] und [mm] $x_2=3$.
[/mm]
Dann ist [mm] $L(x_0)=x_0^2/(2^2\times3^2)$ [/mm] fuer [mm] $x_0\le2=\min\{2,3\}$ [/mm] und 0
sonst. Diese Funktion nimmt ein Randmaximum in [mm] $x_0=2$ [/mm] an, ist dort aber
nicht differenzierbar!
Der Witz besteht darin, dass der ML-Schaetzer fuer [mm] $x_0$ [/mm] gegeben ist durch
[mm] $\hat x_0=\min\{X_1,...,X_n\}$. [/mm] Man findet ihn aber nicht, indem man stumpf
die Likelihoodfunktion ableitet, Null setzt usw.
Danach kannst du so argumentieren: Da du das minimierende [mm] $\hat x_0$ [/mm] kennst,
arbeitest du damit in der Likelihoodfunktion, indem du ihn dort einsetzt.
Jetzt kannst du nach Regeln der Differentialrechnung
den ML-Schaetzer fuer $v$ bestimmen ( in den [mm] $\hat x_0$ [/mm] eingehen wird).
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Mo 26.05.2008 | | Autor: | Mathec |
Ah ok, der Groschen ist gefallen Vielen vielen Dank!!!!
LG
Mathec
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Mo 26.05.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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