Maximum Likelihood < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 05.05.2013 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Eine Zahl $X$ werde aus [mm] $\{1,2,\ldots, M \}$ [/mm] gemäß Gleichverteilung [mm] $P_M$ [/mm] ausgewählt, d.h., es gelte $P(X=k) = [mm] \frac{1}{M}, [/mm] k= [mm] 1,2,\ldots, [/mm] M $
[mm] $M\in \mathbb{N}$ [/mm] sei unbekannt. Bestimmen Sie unter der Voraussetzung , dass $X=x$ gewählt wird, einen Maximum-Likelihood-Schätzer für $M$! |
Nun, hier habe ich es ja mit einer Gleichverteilung zu tun. Der Erwartungswert ist hier offenbar $E[X] = (1 + M) [mm] \cdot \frac{1}{2}.$ [/mm] D.h. wenn $X=x$ gilt, wird wohl $M$ bei ziemlich genau $2x$ liegen.
Meine Frage an euch: Wie kann ich das präziser aufschreiben? Kann mir da jemand vielleicht helfen? :)
(Ich sollte vielleicht anmerken, dass wir uns am Anfang der Wahrscheinlichkeitstheorievorlesung befinden und das eher als Übung zur exakten Formulierung der Intuition gilt als als Punktesammlung für die Klausurzulassung. )
Das ist eigentlich recht komisch, es ist ja jede Zahl gleich wahrscheinlich. Doch ist ja bei jeder Gleichverteilung, die zu erwartende Zahl beim Mittelwert (klingt paradox, nicht?).
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 So 05.05.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das, was du gemacht hast ist aber kein Maximum-Likelihood-Schätzer (MLS)! Du hast ja nicht die Likelihoodfunktion maximiert.
Erst einmal musst du das ganze vernünftig modellieren. Der Stichprobenraum ist z.B. [mm] \IN, [/mm] weil du bei der Durchführung des Experimentes eine natürliche Zahl siehst. (Die Sigmaalgebra kann man als Potenzmenge nehmen.) Und die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist durch [mm] P_M(x)=\frac{1}{M}1_{\{1, \ldots, M\}}(x) [/mm] gegeben.
Jetzt musst du die Likelihoodfunktion aufstellen. Diese ist auch einfach nur $f(M, [mm] x)=\frac{1}{M}1_{\{1, \ldots, M\}}(x)$. [/mm] Sei nun x fest, d.h. du hast x beobachtet. Jetzt musst du M so wählen, dass [mm] \frac{1}{M}1_{\{1, \ldots, M\}}(x) [/mm] maximal wird.
Versuche mal den Wert für M herauszufinden!
|
|
|
|
