Maximum Minimum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Sa 02.12.2006 | | Autor: | levrone |
| Aufgabe | bestimmen sie das max. und min. der auf dem Intervall [0,1] definierten funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} (x+1)*log_2*(x+1)-x*log_2*x-4*x & \mbox{0 |
hallo
es ist mir fast peinlich das zu fragen was ich jetzt leider fragen muss (bzw. fragen will, denn eigentlich will ich es ja auch wissen wie das funktioniert).
also wie rechne ich das? was ist der [mm] log_2 [/mm] (was bedeutet der zweier als index)
bzw. wie wende ich [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] diese formel an?
bitte entschuldigt mein unwissen. aber das hab ich in der vorlesung überhaupt nicht kapiert...
seid mir recht herzlich bedankt 
danke
mfg
lev
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo levrone,
> bestimmen sie das max. und min. der auf dem Intervall [0,1]
> definierten funktion
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> [mm]f(x)=\begin{cases} (x+1)*log_2*(x+1)-x*log_2*x-4*x & \mbox{0
>
> hallo
>
> es ist mir fast peinlich das zu fragen was ich jetzt leider
> fragen muss (bzw. fragen will, denn eigentlich will ich es
> ja auch wissen wie das funktioniert).
>
> also wie rechne ich das? was ist der [mm]log_2[/mm] (was bedeutet
> der zweier als index)
Die 2 als Index gibt an, daß der Logarithmus zur Basis 2 gebildet wird.
>
> bzw. wie wende ich [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] diese formel
> an?
Zumindest für die Einschränkung von $f$ auf dem Intervall [mm](0,1][/mm] rate ich dringend u.a. zur Produktregel  : Da der Logarithmus für Werte <1 ja negativ wird, sollte dort auch das Minimum der Funktion liegen.
Mfg
zahlenspieler
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Hallo levrone!
> bestimmen sie das max. und min. der auf dem Intervall [0,1]
> definierten funktion
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} (x+1)*log_2*(x+1)-x*log_2*x-4*x & \mbox{0
>
> hallo
>
> es ist mir fast peinlich das zu fragen was ich jetzt leider
> fragen muss (bzw. fragen will, denn eigentlich will ich es
> ja auch wissen wie das funktioniert).
>
> also wie rechne ich das? was ist der [mm]log_2[/mm] (was bedeutet
> der zweier als index)
Wie schon gesagt wurde, ist das der Zweierlogarithmus, also z. B. [mm] log_2(x)=16 [/mm] ist die Zahl x, so dass [mm] 2^x=16. [/mm] Demnach wäre x=4.
Für diese Aufgabe ist das aber eigentlich egal, du musst nur die Ableitung kennen. Und die ist: [mm] \bruch{1}{x*\ln 2}, [/mm] wobei hier [mm] \ln [/mm] der Logarithmus zur Basis e ist.
> bzw. wie wende ich [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] diese formel
> an?
Die Formel würde ich auch nicht anwenden. Die benutzt man eigentlich nur bei Beweisen, für Rechnungen nimmt man die  Ableitungsregeln. Für ein Extremum muss die erste Ableitung =0 sein und die zweite <0 für einen Hochpunkt bzw. >0 für einen Tiefpunkt.
Und wenn ich das richtig sehe, gibt es als Minimum nur das Minimum, das am rechten Rand des Intervalls liegt, also bei 1.
> bitte entschuldigt mein unwissen. aber das hab ich in der
> vorlesung überhaupt nicht kapiert...
Mmh, ich glaub auch kaum, dass man das in der Vorlesung lernt, eigentlich macht man das in der Schule!?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:17 So 03.12.2006 | | Autor: | levrone |
guten morgen
danke für die antworten
extremun erste abl. = 0, <0 hochpkt >0 tiefpkt. das weiß ich schon noch aus der schule
ich weiß aber nicht was diese schreibweise der gegebenen funktion soll?
wenn f(x)=0 dann ist x=0? (für was brauch ich das?)
die ableitung vom [mm] log_2 [/mm] versteh ich nicht
[mm] log_2(x)=2^x
[/mm]
[mm] (log_2(x))'=\bruch{1}{ln(2)*x}
[/mm]
[mm] (2^x)'=ln(2)*2^x
[/mm]
diese ableitungen sind aber nicht dasselbe??? warum??
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Hallo levrone!
> extremun erste abl. = 0, <0 hochpkt >0 tiefpkt. das weiß
> ich schon noch aus der schule
Ah - gut.
> ich weiß aber nicht was diese schreibweise der gegebenen
> funktion soll?
> wenn f(x)=0 dann ist x=0? (für was brauch ich das?)
Nein, genau anders herum. Wenn x=0 ist, dann ist die Funktion als 0 definiert. Ansonsten würde etwas fehlen, da der Logarithmus für 0 nicht definiert ist. Und damit keine Definitionslücke entsteht, definiert man den Funktionswert an dieser Stelle eben einfach extra, halt =0. Und falls x zwischen 0 und 1 liegt, ist sie halt so definiert, wie es da steht. Allerdings fehlt eine Definition für die 1, oder ist der erste Fall vielleicht [mm] $0
> die ableitung vom [mm]log_2[/mm] versteh ich nicht
>
> [mm]log_2(x)=2^x[/mm]
>
> [mm](log_2(x))'=\bruch{1}{ln(2)*x}[/mm]
>
> [mm](2^x)'=ln(2)*2^x[/mm]
>
> diese ableitungen sind aber nicht dasselbe??? warum??
Weil deine erste Gleichung nicht stimmt! Du leitest ja einfach nur die Funktion [mm] 2^x [/mm] ab, das ist genau die Umkehrfunktion vom Logarithmus. Demnach könntest du die Ableitung des Logarithmus aber über die Regel der "Umkehrableitung" (weiß gerade nicht, wie man das nennt...) berechnen.
Sorry, dass ich mich etwas schlecht ausgedrückt hatte, weiß leider gerade auch nichts besseres, aber vielleicht hilft dir das hier weiter: Logarithmusfunktion und ![[]](/images/popup.gif) der Wikipedia Artikel.
Viele Grüße
Bastiane
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 So 03.12.2006 | | Autor: | levrone |
danke!
jetzt weiß ich was diese darstellung soll und ja x [mm] \le [/mm] 1 !
und das [mm] 2^x [/mm] die umkehrfunktion ist hab ich nicht bedacht...
muss ich beim ableiten von [mm] log_2(x+1) [/mm] die kettenregel anwenden?
mfg
levrone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 So 03.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo levrone!
Bei der Ableitung musst Du keine Kettenregel direkt berücksichtigen (schließlich lautet die innere Ableitung $1_$).
Für die Ableitung musst Du lediglich wissen: [mm] $\left[ \ \log_b(z) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{z*\ln(b)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:21 So 03.12.2006 | | Autor: | levrone |
danke
ja das ist mir klar das die innere bei dem bsp 1 ist.
du hast geschrieben hier muss ich sie nicht direkt berücksichtigen, dh. ansonsten muss ich bei [mm] log_b(z) [/mm] -ableitungen. die ableitung von z (also nach kettenregel) schon berücksichtigen, oder?
mfg
levrone
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:05 So 03.12.2006 | | Autor: | levrone |
ich hab jetzt die funktion abgeleitet
f'(x)=ln(x+1)-ln(x)-4*ln(2)=0 (stimmt normalerweise, mit mathcad kontrolliert)
wie soll ich sie nun nach x auflösen? wenn ich alles als exonent von e nehme fällt mir das x ja weg...? [mm] (x+1-x-2^4=1)
[/mm]
danke
mfg
levrone
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:28 So 03.12.2006 | | Autor: | levrone |
f'(x)=ln(x+1)-ln(x)-4*ln(2)=0
wie ich das auflöse weiß ich immer noch nicht...
..dazu hab ich noch eine frage; ich soll das max. und min. im intervall [0,1] finden. ok das max. liegt bei x=1/15. (lösung der gleichung durch mathcad). das liegt zufälligerweise im Intervall. wie finde ich aber ein min. und max. in einem best. intervalll heraus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 So 03.12.2006 | | Autor: | hopsie |
> f'(x)=ln(x+1)-ln(x)-4*ln(2)=0
> wie ich das auflöse weiß ich immer noch nicht...
ln(x+1) - ln(x) -4*ln(2) = [mm] ln(\bruch{x+1}{x}) [/mm] - [mm] ln(2^{4}) [/mm] = [mm] ln(\bruch{x+1}{16x})
[/mm]
jetzt kannst du e anwenden.
Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt.
>
> ..dazu hab ich noch eine frage; ich soll das max. und min.
> im intervall [0,1] finden. ok das max. liegt bei x=1/15.
> (lösung der gleichung durch mathcad). das liegt
> zufälligerweise im Intervall. wie finde ich aber ein min.
> und max. in einem best. intervalll heraus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 03.12.2006 | | Autor: | levrone |
danke hopsie!
kann mir jmd vl sagen wie ich das min. und max. aus einem best. intervall berechne?
danke schon im voraus
mfg
levrone
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 So 03.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo levrone!
In einem bestimmten Intervall $[a; b]_$ bestimmst Du zunächst die Extrema wie gehabt mittels Differenzialrechnung (Nullstellen der 1. Ableitung etc.)
Zusätzlich musst Du Dir aber die Ränder bzw. die entsprechenden Funktionswerte $f(a)_$ und $f(b)_$ ansehen, ob diese extremaler sind als die Funktionswerte zu den oben berechneten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 03.12.2006 | | Autor: | levrone |
danke loddar!
f'(x)=0 [mm] \to [/mm] x=1/15 ist im intervall [0,1]
f´´(1/15)=-14 <0 dh maximum
ok nun hab ich das maximum in meinem intervall.
aufgabenstellung: bestimmen sie das max und min der auf dem intervall [0,1] definierten funktion
ok, wenn ich die funktion zeichne sehe ich das der niedrigste y-wert am ende des intervalls (=1) ist.
aber wie beweise ich das min mathematisch? und was wäre wenn das max bei 2 wäre, wie würde ich das max von [0,1] herausfinden?
danke
mfg
levrone
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> danke loddar!
>
[mm] $\rmfamily \text{Hi.}$
[/mm]
> f'(x)=0 [mm]\to[/mm] x=1/15 ist im intervall [0,1]
>
> f´´(1/15)=-14 <0 dh maximum
>
> ok nun hab ich das maximum in meinem intervall.
>
> aufgabenstellung: bestimmen sie das max und min der auf dem
> intervall [0,1] definierten funktion
>
> ok, wenn ich die funktion zeichne sehe ich das der
> niedrigste y-wert am ende des intervalls (=1) ist.
> aber wie beweise ich das min mathematisch?
[mm] $\rmfamily \text{Du zeigst das, indem du einfach vorrechnest, dass alle Minima (falls welche vorliegen) außerhalb des Intervalls liegen.}$
[/mm]
und was wäre
> wenn das max bei 2 wäre, wie würde ich das max von [0,1]
> herausfinden?
[mm] $\rmfamily \text{Wenn im Intervall eine Max. vorliegt, so bekommst du es als mögliche Extremstelle heraus.}$
[/mm]
>
> danke
> mfg
> levrone
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