Maximum, Minimum, sup, inf < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Di 25.10.2011 | | Autor: | sheepnut |
| Aufgabe | Geben Sie Maximum, Minium, Supremum und Infimum an, falls diese existieren:
B={x|x²<1 und [mm] x\in\IR}
[/mm]
C={x|x=n^-n mit [mm] n\in\IZ\ [/mm] |{0}} (Das | vor {0} soll eigentlich ein \ sein. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu B:
Das das sup (x) =1 ist, ist ja logisch, aber warum ist inf (x) = -1 und nicht null? (Lösungen stehen im Buch) Je kleiner die Zahl ist, die man für x einsetzt, desto näher ist doch x² an der null, oder?
Zu C:
Da mit ganzen Zahlen kein Ergebnis größer als 1 erzielt werden kann, warum ist dann das Maximum nicht 1?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:14 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo sheepnut,
> Geben Sie Maximum, Minium, Supremum und Infimum an, falls
> diese existieren:
>
> B={x|x²<1 und [mm]x\in\IR}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> C={x|x=n^-n mit [mm]n\in\IZ\[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
|{0}} (Das | vor {0} soll
> eigentlich ein \ sein.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zu B:
>
> Das das sup (x) =1 ist, ist ja logisch, aber warum ist inf
> (x) = -1 und nicht null? (Lösungen stehen im Buch) Je
> kleiner die Zahl ist, die man für x einsetzt, desto näher
> ist doch x² an der null, oder?
sup (x) ist nicht die korrekte Schreibweise. Richtig wäre sup(B) = Supremum der Menge B.
Die Menge B ist definiert als die Menge aller [mm]x\in\mathbb R[/mm] für die gilt [mm]x^2<1[/mm]. Ist 0 wirklich das kleinste x für das das gilt?
Das Wort "logisch" solltest du übrigens vermeiden, wenn du mathematisch argumentierst. Jeder befindet andere Zusammenhänge als "logisch" und abgesehen davon taugt "logisch" in einem Beweis gar nix. (In vielen Beweisen tauchen Wörter wie "offensichtlich", "offenbar" oder "trivialerweise" auf - das ist auch ok, aber als Verfasser (und auch als Leser) eines Beweises solltest du dir im Klaren sein, dass da eigentlich etwas zu zeigen ist. Meistens reicht ein Verweis auf einen Satz, ein Lemma, die Grundrechenarten, etc)
> Zu C:
>
> Da mit ganzen Zahlen kein Ergebnis größer als 1 erzielt
> werden kann, warum ist dann das Maximum nicht 1?
Du hast Recht: Das Maximum liegt bei 1. Werden aber nicht nur die ganzen (sondern etwa die reellen) Zahlen betrachtet, ändert sich das.
Was ist das Minimum dieser Menge?
Du hast bisher das Infimum und Supremum noch gar nicht angesprochen....
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Mi 26.10.2011 | | Autor: | sheepnut |
Hallo Fulla,
danke für die rasche Antwort.
Aufgabe B ist mir jetzt klar, ich hatte das Minimum auf x² bezogen und nicht auf x. Selbstverständlich ist 0 dabei nicht das kleinste x, bei dem gilt x²<1.
Hier meine Vermutungen bezüglich Max, Min, sup und inf:
B:
Max: 1
Min: -
sup: 1
inf: [mm] -\infty
[/mm]
C:
Max: 1
Min: -
sup: 1
inf: [mm] -\infty
[/mm]
Stimmt das?
Gruß, sheepnut
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Mi 26.10.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Hallo Fulla,
> danke für die rasche Antwort.
> Aufgabe B ist mir jetzt klar, ich hatte das Minimum auf x²
> bezogen und nicht auf x. Selbstverständlich ist 0 dabei
> nicht das kleinste x, bei dem gilt x²<1.
>
> Hier meine Vermutungen bezüglich Max, Min, sup und inf:
> B:
> Max: 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Min: -
> sup: 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> inf: [mm]-\infty[/mm]
Der Untrschied zwischen Maximum und Supremum ist, dass das Maximum immer erreicht wird, das Supremum dagegen muss nicht unbedingt erreicht werden.
Gesucht ist Max, Min, Sup, Inf von der Menge aller x für die gilt [mm]x^2<1[/mm]. Du musst dich jetzt fragen: welches x ist das Kleinste, für das [mm]x^2<1[/mm] gilt und welches ist das Größte?
[Zur Debatte stehen hier offensichtlich -1 und 1. Aber darf man diese Werte auch einsetzen? Gilt dann [mm](\ldots)^2<1[/mm]? Oder [mm](\ldots )^2\le 1[/mm]?]
Gibt es hier einen unterschied zwischen Infinum und Minimum bzw. Supremum und Maximum?
> C:
> Max: 1
> Min: -
> sup: 1
> inf: [mm]-\infty[/mm]
>
> Stimmt das?
Nein, aber das kannst du bestimmt mit den Erkenntnissen aus b) lösen!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mi 26.10.2011 | | Autor: | sheepnut |
Hallo,
zu Aufgabe B:
Da x² < 1, gibt es für diese Aufgabe kein Max und kein Min, richtig? Das sup wäre in diesem Fall 1 und das inf liegt bei -1. Ich hoffe das stimmt nun. =)
Doch nun zu Aufgabe C:
Trotz wiederholter Überlegung bin ich auf das selbe Ergebnis gekommen. Da n [mm] \in\IZ [/mm] ist doch folgendes der Fall:
a) für n>1 gilt: Je größer die Werte sind, die man für n einsetzt, desto kleiner wird x; x geht gegen null
b) für n<1 gilt: Je kleiner die für n eingesetzten Werte sind, desto kleiner wird x; x geht gegen $ [mm] -\infty [/mm] $
c) für n=1 gilt: x = 1
Daraus lässt sich doch schlussfolgern, dass das Maximum, wegen c) 1 ist, ein Minimum wegen b) nicht existiert, aber das inf wegen b) $ [mm] -\infty [/mm] $ ist. Außerdem wäre das sup(C)=1, da x nicht größer sein kann als 1 und die die Werte von a) und b) gegen n=1 auch x=1 zur Folge haben.
Falls ich auf dem Holzweg bin, lass es mich bitte wissen.
Gruß,
sheepnut
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Mi 26.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> zu Aufgabe B:
>
> Da x² < 1, gibt es für diese Aufgabe kein Max und kein
> Min, richtig? Das sup wäre in diesem Fall 1 und das inf
> liegt bei -1. Ich hoffe das stimmt nun. =)
Ja
>
> Doch nun zu Aufgabe C:
>
> Trotz wiederholter Überlegung bin ich auf das selbe
> Ergebnis gekommen. Da n [mm]\in\IZ[/mm] ist doch folgendes der
> Fall:
> a) für n>1 gilt: Je größer die Werte sind, die man für
> n einsetzt, desto kleiner wird x; x geht gegen null
> b) für n<1 gilt: Je kleiner die für n eingesetzten Werte
> sind, desto kleiner wird x; x geht gegen [mm]-\infty[/mm]
> c) für n=1 gilt: x = 1
>
> Daraus lässt sich doch schlussfolgern, dass das Maximum,
> wegen c) 1 ist, ein Minimum wegen b) nicht existiert, aber
> das inf wegen b) [mm]-\infty[/mm] ist. Außerdem wäre das sup(C)=1,
> da x nicht größer sein kann als 1 und die die Werte von
> a) und b) gegen n=1 auch x=1 zur Folge haben.
>
> Falls ich auf dem Holzweg bin
Bist Du nicht
FRED
> , lass es mich bitte wissen.
>
> Gruß,
> sheepnut
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 Mi 26.10.2011 | | Autor: | sheepnut |
Wunderbar, dankeschön! =)
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