Maximum angeben < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wo hat die Funktion [mm] f:\IR^2->\IR [/mm] mit [mm] f(x,y)=(1-x^2-y^2)e^{xy} [/mm] ihr Maximum? |
Hallo!
Ich muss diese Aufgabe lösen und brauche dazu Hilfe, da wir heute in der Vorlesung nur 1 Beispiel hatten und ich das Thema noch nicht so ganz verstanden habe.
Für Extrema muss man die ersten partiellen Ableitungen bilden.
Das hab ich mal versucht.
[mm] \bruch{\partial}{\partial x} f(x,y)=(-2x)e^{xy}+ye^{xy}(1-x^2-y^2)
[/mm]
[mm] \bruch{\partial}{\partial y} f(x,y)=(-2y)e^{xy}+xe^{xy}(1-x^2-y^2)
[/mm]
Sind die richtig?
So, und nun sollen diese gleich Null sein, um Extrema zu finden.
In der Vorlesung hat unser Prof [mm] \bruch{\partial}{\partial x} [/mm] f(x,y) mal x genommen und [mm] \bruch{\partial}{\partial y} [/mm] f(x,y) mal y und dann die erste von der zweiten Gleichung abgezogen. SO hab ich das auch gemacht und dann bekomme ich
[mm] -2x^2+2y^2=0 [/mm] <=> [mm] y^2=x^2 [/mm] <=> y=x
Setze y und [mm] y^2 [/mm] in die erste Ableitung(die nach x) ein und bekomme
[mm] -2xe^{x^2}+xe^{x^2}(1-2x^2)=0
[/mm]
[mm] e^{x^2} [/mm] ist gleich 1, wenn es eine Lösung der Gleichung ist
=> [mm] -2x+x-2x^3=0 [/mm] <=> [mm] x(x^2+1)=0
[/mm]
Daraus würde folgen, dass es 3 Extrema gibt, bei (0,0), bei (1,1) und bei (-1,-1)
Ist das alles soweit richtig? Ich bezweifel das, weil es irgendwie zu einfach wär.
Ich freue mich über jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Do 10.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wo hat die Funktion [mm]f:\IR^2->\IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=(1-x^2-y^2)e^{xy}[/mm] ihr Maximum?
> Hallo!
> Ich muss diese Aufgabe lösen und brauche dazu Hilfe, da
> wir heute in der Vorlesung nur 1 Beispiel hatten und ich
> das Thema noch nicht so ganz verstanden habe.
>
> Für Extrema muss man die ersten partiellen Ableitungen
> bilden.
> Das hab ich mal versucht.
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} f(x,y)=(-2x)e^{xy}+ye^{xy}(1-x^2-y^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} f(x,y)=(-2y)e^{xy}+xe^{xy}(1-x^2-y^2)[/mm]
>
> Sind die richtig?
ja! Übrigens sieht man sehr schnell, dass diese, bis auf eine Vertauschung von $x [mm] \leftrightarrow y$ gleich sind. Das erkennt man auch an der Form von $f\,.$
> So, und nun sollen diese gleich Null sein, um Extrema zu
> finden.
Dass der Gradient an einer Stelle verschwindet, ist notwendig dafür, dass $f\,$ dort ein lokales Extremum hat. Es muss aber nicht hinreichend sein. D.h. es kann durchaus auch sein, dass Du hiermit Stellen errechnest, an denen kein lokales Extremum vorliegt. Aber jede Stelle, an der ein lokales Extremum vorliegt, werden wir so sicherlich erhalten. Das heißt, am Ende wäre noch zu prüfen, welche dieser Stellen, die Du so errechnest, auch wirklich Extremstellen sind. Analog zum eindimensionalen Fall gibt es hier auch hinreichende Kriterien für Extremstellen, man schaut sich die Hesse-Matrix an der entsprechenden Stelle an und schaut nach Definitheit (z.B. mit den Eigenwerten), sofern $f\,$ passende Voraussetzungen erfüllt.
P.S.:
Du kennst auch analoges im eindimensionalen: $x \mapsto x^3$ hat an $x=0\,$ keine Extremstelle, die Ableitung dort verschwindet aber. Die Hessematrix an der Stelle leider auch.
Bei $x \mapsto x^2$ wäre die Hessematrix an $x_0=0$ gerade 2, und damit positiv definit. Also liegt dort ein lokales Minimum vor. Bei Funktionen $\IR \to \IR$ ist der Gradient und die Hessematrix sehr einfach, und entsprechende Kriterien für lokale Extremstellen kennst Du schon aus der Schule.
> In der Vorlesung hat unser Prof [/mm] [mm]\bruch{\partial}{\partial x}[/mm]
> f(x,y) mal x genommen und [mm]\bruch{\partial}{\partial y}[/mm]
> f(x,y) mal y und dann die erste von der zweiten Gleichung
> abgezogen. SO hab ich das auch gemacht
Ja, generell ist halt zu überlegen, wie man möglichst sinnvoll umformt, so dass z.B. bei der Addition entsprechend entstandener Gleichungen "unschöne oder störende Terme" verschwinden.
> und dann bekomme
> ich
> [mm]-2x^2+2y^2=0[/mm] <=> [mm]y^2=x^2[/mm] <=> y=x
Das ist so nicht korrekt. Richtig wäre:
[mm] $$(y^2-x^2)e^{xy}=0 \gdw y^2-x^2=0 \gdw [/mm] (y+x)(y-x)=0 [mm] \gdw [/mm] y=x [mm] \text{ oder }y=-x\,.$$
[/mm]
Bei Deiner Rechnung:
Beachte [mm] $x^2=y^2 \gdw x=\pm \sqrt{y^2}=\pm|y| \gdw x=\pm y\,.$
[/mm]
> Setze y und [mm]y^2[/mm] in die erste Ableitung(die nach x) ein und
> bekomme
> [mm]-2xe^{x^2}+xe^{x^2}(1-2x^2)=0[/mm]
> [mm]e^{x^2}[/mm] ist gleich 1, wenn es eine Lösung der Gleichung
> ist
> => [mm]-2x+x-2x^3=0[/mm] <=> [mm]x(x^2+1)=0[/mm]
> Daraus würde folgen, dass es 3 Extrema gibt, bei (0,0),
> bei (1,1) und bei (-1,-1)
Ich glaube, Du hast noch ein paar potentielle Lösungen mehr (weil Du ja nur mit der Gleichung $x=y$ gerechnet hattest, also die Gleichung $x=-y$ verloren gegangen ist), und berechne auch die zugehörigen Funktionswerte, damit Du nachher auch das (oder evtl. auch die) wirkliche(n) Maximalstelle(n) angeben kannst.
(Z.B. wäre bei den von Dir errechneten Werten $f(0,0)=1$ und $f(1,1)=-e < f(0,0)=1$, also wäre $(1,1)$ schonmal keine der gesuchten Maximalstellen (es ist "nur" eine lokale). Theoretisch kann es aber sein, dass Du mit der obigen Zusatzgleichung $x=-y$ aber dennoch eine andere Stelle $(a,b) [mm] \not=(0,0)\,$ [/mm] mit [mm] $f(a,b)=1\,$ [/mm] findest - durch abklappern der Funktionswerte an den errechneten potentiellen Extremstellen. Und wenn dann stets $f(x,y) [mm] \le [/mm] 1$ gelten sollte, dann wären mit [mm] $(a,b)\,$ [/mm] und [mm] $(0,0)\,$ [/mm] zwei Maximalstellen (global!) für [mm] $f\,$ [/mm] gefunden. Aber wie gesagt: Ganz durchgerechnet habe ich es nicht, es geht mir nur darum, dass Du Dir auch klar machst, was theoretisch erstmal weiter möglich wäre.)
Beachte übrigens (bei der Argumenation für Maximalstelle(n)) hier auch, dass [mm] $f\,$ [/mm] eine nach oben beschränkte Funktion ist (Warum?).
Beste Grüße,
Marcel
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Erstmal vielen Dank für deine lange und ausführliche Antwort. Doch ich habe noch viele Fragen.
> Dass der Gradient an einer Stelle verschwindet, ist
> notwendig dafür, dass [mm]f\,[/mm] dort ein lokales Extremum hat.
> Es muss aber nicht hinreichend sein. D.h. es kann durchaus
> auch sein, dass Du hiermit Stellen errechnest, an denen
> kein lokales Extremum vorliegt. Aber jede Stelle, an der
> ein lokales Extremum vorliegt, werden wir so sicherlich
> erhalten. Das heißt, am Ende wäre noch zu prüfen, welche
> dieser Stellen, die Du so errechnest, auch wirklich
> Extremstellen sind. Analog zum eindimensionalen Fall gibt
> es hier auch hinreichende Kriterien für Extremstellen, man
> schaut sich die Hesse-Matrix an der entsprechenden Stelle
> an und schaut nach Definitheit (z.B. mit den Eigenwerten),
> sofern [mm]f\,[/mm] passende Voraussetzungen erfüllt.
>
Also hab ich das richtig verstanden: Die Logik ist genau wie im Eindimensionalen, f'(x)=0 geben die Extrema an und mit der zweiten Ableitung(im EIndimensionalen) konnte man gucken, um welches Extremum es sich handelt und im Mehrdimensionalen etwas komplizierter
Die Hessematrix beinhaltet alle ABleitungen, also muss ich jetzt alle Ableitungen bilden und dann daraus diese Matrix aufstellen? Muss man das immer bzw. ist das die einzige Möglichkeit
> Bei Deiner Rechnung:
> Beachte [mm]x^2=y^2 \gdw x=\pm \sqrt{y^2}=\pm|y| \gdw x=\pm y\,.[/mm]
>
> > Setze y und [mm]y^2[/mm] in die erste Ableitung(die nach x) ein und
> > bekomme
> > [mm]-2xe^{x^2}+xe^{x^2}(1-2x^2)=0[/mm]
> > [mm]e^{x^2}[/mm] ist gleich 1, wenn es eine Lösung der
> Gleichung
> > ist
> > => [mm]-2x+x-2x^3=0[/mm] <=> [mm]x(x^2+1)=0[/mm]
> > Daraus würde folgen, dass es 3 Extrema gibt, bei
> (0,0),
> > bei (1,1) und bei (-1,-1)
>
Ok,also ich habe jetzt die 3 berechneten Extrema, also bei (0,0) mit f(0,0)=1, bei (1,1) mit f(1,1)=-e und bei (-1,-1) mit f(-1,-1)=-e
Wenn ich jetzt noch y=-x betrachte, dann bekomme ich
[mm] (-2x)-x(1-2x^2)=0 [/mm] <=> -3x [mm] +2x^3=0 [/mm] <=> [mm] x(-3+2x^2)=0
[/mm]
Betrachte [mm] -3+2x^2=0 [/mm] <=> [mm] x=\pm \wurzel\bruch{3}{2}
[/mm]
So, also sind auch Extrema bei [mm] f(\wurzel\bruch{3}{2},-\wurzel\bruch{3}{2})=-2e^{-3/2} [/mm] und bei [mm] f(-\wurzel\bruch{3}{2},\wurzel\bruch{3}{2})=-2e^{3/2}
[/mm]
Sind das nun alle Extrema?
> Ich glaube, Du hast noch ein paar potentielle Lösungen
> mehr (weil Du ja nur mit der Gleichung [mm]x=y[/mm] gerechnet
> hattest, also die Gleichung [mm]x=-y[/mm] verloren gegangen ist),
> und berechne auch die zugehörigen Funktionswerte, damit Du
> nachher auch das (oder evtl. auch die) wirkliche(n)
> Maximalstelle(n) angeben kannst.
> (Z.B. wäre bei den von Dir errechneten Werten [mm]f(0,0)=1[/mm] und
> [mm]f(1,1)=-e < f(0,0)=1[/mm], also wäre [mm](1,1)[/mm] schonmal keine der
> gesuchten Maximalstellen (es ist "nur" eine lokale).
> Theoretisch kann es aber sein, dass Du mit der obigen
> Zusatzgleichung [mm]x=-y[/mm] aber dennoch eine andere Stelle [mm](a,b) \not=(0,0)\,[/mm]
> mit [mm]f(a,b)=1\,[/mm] findest - durch abklappern der
> Funktionswerte an den errechneten potentiellen
> Extremstellen. Und wenn dann stets [mm]f(x,y) \le 1[/mm] gelten
> sollte, dann wären mit [mm](a,b)\,[/mm] und [mm](0,0)\,[/mm] zwei
> Maximalstellen (global!) für [mm]f\,[/mm] gefunden. Aber wie
> gesagt: Ganz durchgerechnet habe ich es nicht, es geht mir
> nur darum, dass Du Dir auch klar machst, was theoretisch
> erstmal weiter möglich wäre.)
> Beachte übrigens (bei der Argumenation für
> Maximalstelle(n)) hier auch, dass [mm]f\,[/mm] eine nach oben
> beschränkte Funktion ist (Warum?).
Entschuldigung, du sagst, dass wir keine lokale Extrema berechnen, also sind lokale Extrema im Mehrdimensionalen keine Extrema? Weil in der Aufgabe soll man ja alle Extrema angeben.
Nein, ich sehe nicht, dass die Funktion beschränkt ist. Gegen was ist sie denn beschränkt bzw. wie sieht man das? Im Mehrdimensionalen find ich das immer schwierig genau só wie mir die Funktion bildlich darzustellen.
Es wäre nett, wenn du oder ein anderer mir bei meinen Fragen und bei der Aufgabe helfen würde.
Vielen lieben Dank
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Erstmal vielen Dank für deine lange und ausführliche
> Antwort. Doch ich habe noch viele Fragen.
>
> > Dass der Gradient an einer Stelle verschwindet, ist
> > notwendig dafür, dass [mm]f\,[/mm] dort ein lokales Extremum hat.
> > Es muss aber nicht hinreichend sein. D.h. es kann durchaus
> > auch sein, dass Du hiermit Stellen errechnest, an denen
> > kein lokales Extremum vorliegt. Aber jede Stelle, an der
> > ein lokales Extremum vorliegt, werden wir so sicherlich
> > erhalten. Das heißt, am Ende wäre noch zu prüfen, welche
> > dieser Stellen, die Du so errechnest, auch wirklich
> > Extremstellen sind. Analog zum eindimensionalen Fall gibt
> > es hier auch hinreichende Kriterien für Extremstellen, man
> > schaut sich die Hesse-Matrix an der entsprechenden Stelle
> > an und schaut nach Definitheit (z.B. mit den Eigenwerten),
> > sofern [mm]f\,[/mm] passende Voraussetzungen erfüllt.
> >
> Also hab ich das richtig verstanden: Die Logik ist genau
> wie im Eindimensionalen, f'(x)=0 geben die Extrema an und
> mit der zweiten Ableitung(im EIndimensionalen) konnte man
> gucken, um welches Extremum es sich handelt und im
> Mehrdimensionalen etwas komplizierter
> Die Hessematrix beinhaltet alle ABleitungen, also muss ich
> jetzt alle Ableitungen bilden und dann daraus diese Matrix
> aufstellen? Muss man das immer bzw. ist das die einzige
> Möglichkeit
> > Bei Deiner Rechnung:
> > Beachte [mm]x^2=y^2 \gdw x=\pm \sqrt{y^2}=\pm|y| \gdw x=\pm y\,.[/mm]
>
> >
> > > Setze y und [mm]y^2[/mm] in die erste Ableitung(die nach x) ein und
> > > bekomme
> > > [mm]-2xe^{x^2}+xe^{x^2}(1-2x^2)=0[/mm]
> > > [mm]e^{x^2}[/mm] ist gleich 1, wenn es eine Lösung der
> > Gleichung
> > > ist
> > > => [mm]-2x+x-2x^3=0[/mm] <=> [mm]x(x^2+1)=0[/mm]
> > > Daraus würde folgen, dass es 3 Extrema gibt, bei
> > (0,0),
> > > bei (1,1) und bei (-1,-1)
> >
>
> Ok,also ich habe jetzt die 3 berechneten Extrema, also bei
> (0,0) mit f(0,0)=1, bei (1,1) mit f(1,1)=-e und bei (-1,-1)
> mit f(-1,-1)=-e
(1,1) und (-1,-1) sind keine Kandidaten für Extrema.
> Wenn ich jetzt noch y=-x betrachte, dann bekomme ich
> [mm](-2x)-x(1-2x^2)=0[/mm] <=> -3x [mm]+2x^3=0[/mm] <=> [mm]x(-3+2x^2)=0[/mm]
> Betrachte [mm]-3+2x^2=0[/mm] <=> [mm]x=\pm \wurzel\bruch{3}{2}[/mm]
> So,
> also sind auch Extrema bei
> [mm]f(\wurzel\bruch{3}{2},-\wurzel\bruch{3}{2})=-2e^{-3/2}[/mm] und
> bei [mm]f(-\wurzel\bruch{3}{2},\wurzel\bruch{3}{2})=-2e^{3/2}[/mm]
>
> Sind das nun alle Extrema?
>
> > Ich glaube, Du hast noch ein paar potentielle Lösungen
> > mehr (weil Du ja nur mit der Gleichung [mm]x=y[/mm] gerechnet
> > hattest, also die Gleichung [mm]x=-y[/mm] verloren gegangen ist),
> > und berechne auch die zugehörigen Funktionswerte, damit Du
> > nachher auch das (oder evtl. auch die) wirkliche(n)
> > Maximalstelle(n) angeben kannst.
> > (Z.B. wäre bei den von Dir errechneten Werten [mm]f(0,0)=1[/mm] und
> > [mm]f(1,1)=-e < f(0,0)=1[/mm], also wäre [mm](1,1)[/mm] schonmal keine der
> > gesuchten Maximalstellen (es ist "nur" eine lokale).
> > Theoretisch kann es aber sein, dass Du mit der obigen
> > Zusatzgleichung [mm]x=-y[/mm] aber dennoch eine andere Stelle [mm](a,b) \not=(0,0)\,[/mm]
> > mit [mm]f(a,b)=1\,[/mm] findest - durch abklappern der
> > Funktionswerte an den errechneten potentiellen
> > Extremstellen. Und wenn dann stets [mm]f(x,y) \le 1[/mm] gelten
> > sollte, dann wären mit [mm](a,b)\,[/mm] und [mm](0,0)\,[/mm] zwei
> > Maximalstellen (global!) für [mm]f\,[/mm] gefunden. Aber wie
> > gesagt: Ganz durchgerechnet habe ich es nicht, es geht mir
> > nur darum, dass Du Dir auch klar machst, was theoretisch
> > erstmal weiter möglich wäre.)
> > Beachte übrigens (bei der Argumenation für
> > Maximalstelle(n)) hier auch, dass [mm]f\,[/mm] eine nach oben
> > beschränkte Funktion ist (Warum?).
> Entschuldigung, du sagst, dass wir keine lokale Extrema
> berechnen, also sind lokale Extrema im Mehrdimensionalen
> keine Extrema? Weil in der Aufgabe soll man ja alle Extrema
> angeben.
Lokale Extrema sind auch Kandidaten für das globale Extrema.
>
> Nein, ich sehe nicht, dass die Funktion beschränkt ist.
> Gegen was ist sie denn beschränkt bzw. wie sieht man das?
> Im Mehrdimensionalen find ich das immer schwierig genau só
> wie mir die Funktion bildlich darzustellen.
Untersuche den Randbereich des Definitionsbereiches der Funktion.
>
> Es wäre nett, wenn du oder ein anderer mir bei meinen
> Fragen und bei der Aufgabe helfen würde.
>
> Vielen lieben Dank
> TheBozz-mismo
Gruss
MathePower
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Hallo
> (1,1) und (-1,-1) sind keine Kandidaten für Extrema.
Ok, das hab ich mittlerweile auch gesehen. Also bleiben ja nur 3 Extrema übrig , in (0,0) und in [mm] (-\wurzel\bruch{3}{2},\wurzel\bruch{3}{2}) [/mm] und [mm] (\wurzel\bruch{3}{2},-\wurzel\bruch{3}{2})
[/mm]
So, und nun muss ich gucken, was für Extrema das sind. Dafür kam ja die bereits erwähnte Hessematrix zum Einsatz, also muss ich jetzt erst diese Matrix bilden bzw. alle Ableitungen bilden? Und das weitere Verfahren ist mir auch nicht bekannt.
> Lokale Extrema sind auch Kandidaten für das globale
> Extrema.
>
Ok, danke
>
> >
> > Nein, ich sehe nicht, dass die Funktion beschränkt ist.
> > Gegen was ist sie denn beschränkt bzw. wie sieht man das?
> > Im Mehrdimensionalen find ich das immer schwierig genau só
> > wie mir die Funktion bildlich darzustellen.
>
>
> Untersuche den Randbereich des Definitionsbereiches der
> Funktion.
>
Genau da hab ich ein Problem...die Funktion ist ja nach ganz [mm] \IR [/mm] definiert, muss man den Limes berechnen oder wie bekommt man die Randpunkte des Definitionsbereich raus? Kann man sich die Funktion irgendwie bildlich vorstellen? Ich nicht...
Freue mich über jede Hilfe
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz dazu:
> > Untersuche den Randbereich des Definitionsbereiches der
> > Funktion.
> >
> Genau da hab ich ein Problem...die Funktion ist ja nach
> ganz [mm]\IR[/mm] definiert, muss man den Limes berechnen oder wie
> bekommt man die Randpunkte des Definitionsbereich raus?
> Kann man sich die Funktion irgendwie bildlich vorstellen?
> Ich nicht...
schaue diesbezüglich einmal in meine Antwort hier rein, und zum anderen:
Du kannst Dir sicher auch öfters mal überlegen, was mit den Funktionswerten passiert, wenn man die Argumente entlang einer Richtung gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben läßt. Bei den ersten Überlegungen könnte man z.B. [mm] $f(r*e_k)\,$ [/mm] wobei [mm] $e_k$ [/mm] der [mm] $k\,$-te [/mm] Vektor der euklidischen Basis sei, bei $|r| [mm] \to \infty$ [/mm] betrachten.
Beste Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 14.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Fr 11.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal vielen Dank für deine lange und ausführliche
> Antwort. Doch ich habe noch viele Fragen.
>
> > Dass der Gradient an einer Stelle verschwindet, ist
> > notwendig dafür, dass [mm]f\,[/mm] dort ein lokales Extremum hat.
> > Es muss aber nicht hinreichend sein. D.h. es kann durchaus
> > auch sein, dass Du hiermit Stellen errechnest, an denen
> > kein lokales Extremum vorliegt. Aber jede Stelle, an der
> > ein lokales Extremum vorliegt, werden wir so sicherlich
> > erhalten. Das heißt, am Ende wäre noch zu prüfen, welche
> > dieser Stellen, die Du so errechnest, auch wirklich
> > Extremstellen sind. Analog zum eindimensionalen Fall gibt
> > es hier auch hinreichende Kriterien für Extremstellen, man
> > schaut sich die Hesse-Matrix an der entsprechenden Stelle
> > an und schaut nach Definitheit (z.B. mit den Eigenwerten),
> > sofern [mm]f\,[/mm] passende Voraussetzungen erfüllt.
> >
> Also hab ich das richtig verstanden: Die Logik ist genau
> wie im Eindimensionalen, f'(x)=0 geben die Extrema an und
> mit der zweiten Ableitung(im EIndimensionalen) konnte man
> gucken, um welches Extremum es sich handelt und im
> Mehrdimensionalen etwas komplizierter
> Die Hessematrix beinhaltet alle ABleitungen, also muss ich
> jetzt alle Ableitungen bilden und dann daraus diese Matrix
> aufstellen? Muss man das immer bzw. ist das die einzige
> Möglichkeit
jein. Wenn man nur eine globale Extremstelle finden muss, kann man auch ohne die zweite Ableitung (Hessematrix; die enthält übrigens die partiellen Ableitungen der (ersten) partiellen Ableitungen) arbeiten, da man sich ja auch einfach dann an den Funktionswerten orientieren kann, wo denn hier wirklich ein globales Maximum vorliegt. Dabei braucht man dann aber, dass man eine "Menge für potentielle Extremstellen" errechnet, die überschaubar ist und auch alle wirklichen Extremstellen enthält. In Deinem Fall ist es eine endliche Menge (manchmal braucht man das nicht, z.B. bei periodischen Funktionen erhält man erstmal eine nicht endliche, abzählbare Menge für lokale Extremstellen... und trotzdem kommt man da meist weiter.).
Es hängt auch von den Voraussetzungen an [mm] $f\,$ [/mm] ab, ob man das kann bzw. ob das geht. Selbstverständlich gibt es auch noch andere Möglichkeiten, nachzuweisen, dass eine Stelle wirklich eine lokale Extremstelle ist. Die naheliegendste wäre über die Definition:
Man zeigt, dass es eine Umgebung gibt, in der alle Funktionswerte [mm] $\le$ [/mm] des Funktionswertes der betrachteten Stelle sind (für lokale Maximalstelle). Analoges für lokale Minimalstelle.
Einaches Beispiel: [mm] $f\,$ [/mm] werde beschrieben durch [mm] $f(x)=-x^4+1$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [-1,1]$), $f(x)=-x-1$ ($x < -1$), $f(x)=x-1$ ($x > 1$). Hier wäre $f'(0)=0$ und $f''(0)=0$. Also können wir nicht mithilfe der Voraussetzung, dass $f''(0) > 0$ wäre, argumentieren, dass [mm] $f\,$ [/mm] an [mm] $0\,$ [/mm] ein lokales Maximum vorliegen hat. Aber das ganze geht mit den Funktionswerten einer [mm] ($\epsilon-$)Umgebung [/mm] um [mm] $x_0=0\,.$ [/mm]
> > Bei Deiner Rechnung:
> > Beachte [mm]x^2=y^2 \gdw x=\pm \sqrt{y^2}=\pm|y| \gdw x=\pm y\,.[/mm]
>
> >
> > > Setze y und [mm]y^2[/mm] in die erste Ableitung(die nach x) ein und
> > > bekomme
> > > [mm]-2xe^{x^2}+xe^{x^2}(1-2x^2)=0[/mm]
> > > [mm]e^{x^2}[/mm] ist gleich 1, wenn es eine Lösung der
> > Gleichung
> > > ist
> > > => [mm]-2x+x-2x^3=0[/mm] <=> [mm]x(x^2+1)=0[/mm]
> > > Daraus würde folgen, dass es 3 Extrema gibt, bei
> > (0,0),
> > > bei (1,1) und bei (-1,-1)
> >
>
> Ok,also ich habe jetzt die 3 berechneten Extrema, also bei
> (0,0) mit f(0,0)=1, bei (1,1) mit f(1,1)=-e und bei (-1,-1)
> mit f(-1,-1)=-e
> Wenn ich jetzt noch y=-x betrachte, dann bekomme ich
> [mm](-2x)-x(1-2x^2)=0[/mm] <=> -3x [mm]+2x^3=0[/mm] <=> [mm]x(-3+2x^2)=0[/mm]
> Betrachte [mm]-3+2x^2=0[/mm] <=> [mm]x=\pm \wurzel\bruch{3}{2}[/mm]
> So,
> also sind auch Extrema bei
> [mm]f(\wurzel\bruch{3}{2},-\wurzel\bruch{3}{2})=-2e^{-3/2}[/mm] und
> bei [mm]f(-\wurzel\bruch{3}{2},\wurzel\bruch{3}{2})=-2e^{3/2}[/mm]
>
> Sind das nun alle Extrema?
>
> > Ich glaube, Du hast noch ein paar potentielle Lösungen
> > mehr (weil Du ja nur mit der Gleichung [mm]x=y[/mm] gerechnet
> > hattest, also die Gleichung [mm]x=-y[/mm] verloren gegangen ist),
> > und berechne auch die zugehörigen Funktionswerte, damit Du
> > nachher auch das (oder evtl. auch die) wirkliche(n)
> > Maximalstelle(n) angeben kannst.
> > (Z.B. wäre bei den von Dir errechneten Werten [mm]f(0,0)=1[/mm] und
> > [mm]f(1,1)=-e < f(0,0)=1[/mm], also wäre [mm](1,1)[/mm] schonmal keine der
> > gesuchten Maximalstellen (es ist "nur" eine lokale).
> > Theoretisch kann es aber sein, dass Du mit der obigen
> > Zusatzgleichung [mm]x=-y[/mm] aber dennoch eine andere Stelle [mm](a,b) \not=(0,0)\,[/mm]
> > mit [mm]f(a,b)=1\,[/mm] findest - durch abklappern der
> > Funktionswerte an den errechneten potentiellen
> > Extremstellen. Und wenn dann stets [mm]f(x,y) \le 1[/mm] gelten
> > sollte, dann wären mit [mm](a,b)\,[/mm] und [mm](0,0)\,[/mm] zwei
> > Maximalstellen (global!) für [mm]f\,[/mm] gefunden. Aber wie
> > gesagt: Ganz durchgerechnet habe ich es nicht, es geht mir
> > nur darum, dass Du Dir auch klar machst, was theoretisch
> > erstmal weiter möglich wäre.)
> > Beachte übrigens (bei der Argumenation für
> > Maximalstelle(n)) hier auch, dass [mm]f\,[/mm] eine nach oben
> > beschränkte Funktion ist (Warum?).
> Entschuldigung, du sagst, dass wir keine lokale Extrema
> berechnen, also sind lokale Extrema im Mehrdimensionalen
> keine Extrema?
Doch, aber eben nur lokale. Ein lokales Extrema kann, muss aber kein globales sein. Ein globales ist jedoch stets ein lokales.
> Weil in der Aufgabe soll man ja alle Extrema
> angeben.
Nein, denn in Deiner Aufgabe steht, dass Du das Maximum berechnen sollst. Das ist der Funktionswert der globalen Maximalstelle(n), wenn man es genau nimmt. Daher solltest Du erstmal alle lokalen Extremstellen berechnen und die zugehörigen Funktionswerte, und diese dann sortieren.
Und wenn Du nochmal guckst: Mathepower hat anscheinend nachgerechnet, dass an [mm] $(1,1)\,$ [/mm] z.B. die partiellen Ableitungen verschwinden, aber dort keine lokale Extremstelle vorliegt. Das ist aber nicht schlimm, denn:
Du suchst hier das globale Maximum, indem Du endlich viele potentielle lokale Extremstellen und die zugehörigen Funktionswerte berechnest. Wichtig ist dabei, dass bei der Berechnung der potentiellen lokalen Extremstellen mit Sicherheit keine wirkliche lokale Extremstelle verlorengeht. D.h. Du weißt eigentlich:
Sind [mm] $x_1,\ldots,x_m \in \IR^2$ [/mm] die lokalen Maximalstellen von [mm] $f\,$, [/mm] so ist [mm] $\text{max}f=\text{max}\limits_{1 \le k \le m}f(x_k)$ [/mm] das Maximum der Funktion.
Du berechnest nun, indem Du die partiellen Ableitungen nur [mm] $=0\,$ [/mm] setzt, aber mit Sicherheit Stellen [mm] $\{y_1,\ldots,y_n\}$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] m$ so, dass [mm] $\{x_1,\ldots,x_m\} \subseteq \{y_1,\ldots,y_n\}$ [/mm] gilt. Weil aber [mm] $\text{max}f=\text{max}\limits_{1 \le k \le m}f(x_k)$ [/mm] ist, muss insbesondere auch [mm] $f(y_i) \le \text{max}f=\text{max}\limits_{1 \le k \le m}f(x_k)$ ($i=1,\ldots,n$)gelten. [/mm] Und wegen [mm] $\{x_1,\ldots,x_m\} \subseteq \{y_1,\ldots,y_n\}$ [/mm] enthält [mm] $\{y_1,\ldots,y_n\}$ [/mm] auch die (oder alle) globale(n) Extremstellen.
> Nein, ich sehe nicht, dass die Funktion beschränkt ist.
Ist sie nicht. Aber sie ist nach oben beschränkt!
> Gegen was ist sie denn beschränkt bzw. wie sieht man das?
[mm] $$f(x,y)=(1-x^2-y^2)e^{xy}$$
[/mm]
hat nur Funktionswerte [mm] $\ge [/mm] 0$, wenn [mm] $1-x^2-y^2 \ge [/mm] 0$ ist. Letzteres kann nur sein, wenn $(x,y) [mm] \in [/mm] [-1,1] [mm] \times [/mm] [-1,1]$ (eigentlich sogar nur für eine Teilmenge dieses Quadrates). Da die auf $[-1,1] [mm] \times [/mm] [-1,1]$ eingeschränkte Funktion [mm] $f_{|[-1,1] \times [-1,1]}$ [/mm] stetig auf dem Kompaktum $[-1,1] [mm] \times [/mm] [-1,1] [mm] \subseteq \IR^2$ [/mm] ist, nimmt sie dort Ihr Maximum an. Da [mm] $f\,$ [/mm] außerhalb dieses Intervalls sicher [mm] $\le [/mm] 0$ ist (da dann $|x| > 1$ (und sogar auch $|y| > 1$) ist), ist die globale Maximalstelle von [mm] $f\,$ [/mm] sicher in dem obigen Quadrat gelegen, und insbesondere ist [mm] $f\,$ [/mm] nach oben beschränkt.
> Im Mehrdimensionalen find ich das immer schwierig genau só
> wie mir die Funktion bildlich darzustellen.
Das ist für jeden sehr schwer. Aber auch da gibt es Plotter. Aber versuche ruhig auch mal, zu schauen, was passiert, wenn Du die $(x,y) [mm] \in \IR^2$ [/mm] (auf einer oder gewissen "Kurve(n)") mal gegen [mm] "$\infty$" [/mm] streben läßt (d.h. [mm] $\|(x,y)\| \to \infty$).
[/mm]
> Es wäre nett, wenn du oder ein anderer mir bei meinen
> Fragen und bei der Aufgabe helfen würde.
Ansonsten siehe auch Mathepowers Hinweise.
Beste Grüße,
Marcel
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Hallo. So, hab mir ein paar Gedanken gemacht
Also ich habe die 3 Extrema bei (0,0), bei [mm] (\wurzel\bruch{3}{2},-\wurzel\bruch{3}{2}) [/mm] und bei [mm] f(-\wurzel\bruch{3}{2},\wurzel\bruch{3}{2}) [/mm]
Bei (0,0) liegt definitiv ein Maximum, weil wenn man f=0 setzt, dann bekommt man [mm] x^2+y^2=1, [/mm] also ein Kreis mit Mittelpunkt(0,0) und Radius 1. Diese Menge ist kompakt, weil f in diesem Intervall auch stetig ist, dass heißt, diese Menge ist beschränkt und abgeschlossen. Wir hatten in der Vorlesung einen Satz: Wenn f stetig und A kompakt, dann nimmt f auf A max und min ein.
So, da es im Kreis nur positive Werte von f gibt, liegt mindestens ein Extrema im Kreis und alle Punkte im Kreis sind, wenn es ein Extrema ist, ein Maximum.
=> In (0,0) ein Maximum, aber was machen wir bei den anderen beiden Punkten? Diese liegen außerhalb des Kreises, aber man kann ja nicht daraus schließen, dass sie deshalb Minimas sind? Unser Übungsleiter hat gesagt, dass das zwar meistens so ist, aber nicht immer und man kann es nicht einfach annehmen.
Wie kann ich nun überprüfen, ob dies Extremas sind. Man kann die Werte in die Hessematrix einsetzen und gucken, ob die Determinatne positiv oder negativ ist, aber leider hatten wir diesen Satz in der Vorlesung noch nicht, aber es muss auch irgendwie anders gehen.
Wer kann mir helfen?
Vielen lieben Dank für jede Hilfe
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Mi 16.06.2010 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
es kommt etwas darauf an, was Du benutzen darfst. Kennt Ihr Richtungsableitungen? Auch gibt es zwei grundsätzliche Varianten. Die eine beruht auf der Annahme, das es sich um Extremstellen handelt. DIe andere hingegen, dass es keine Extrema sind.
Bitte beachte: ein Extremum, mehrere Extrema. Stell Dir vor Du bist in einer Prüfung und dem Prof. rollen sich die Fußnägel auf, weil er "bei diesem Extremum" hört. Weiterhin unterscheide genau zwischen Kandidaten für Extrema und den Extrema selbst. Erst wenn Du nachgewiesen hast, dass es sich um ein Extremum handelt, darfst Du es auch so nennen.
Ziel ist es, die beiden Stellen zu untersuchen, ob dort Extrema vorliegen.
Wenn Du annimmst, dass Extrema vorliegen ist eine Möglichkeit: suche, ob Du, ähnlich wie bei dem Kreis um (0/0) eine Isolinie findest. Dann kannst Du genau so argumentieren.
Wenn Du annimmst, das kein Extremum vorliegt, dann musst Du nachweisen, dass es eine Umgebung gibt, die unabhängig von ihrem Radius, immer größere und kleinere Werte als die der Kandidaten enthält. Setze mal x=-y. Was passiert mit den Funktionswerten, wenn Du diese Gerade entlang gehst?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Di 15.06.2010 | | Autor: | peeetaaa |
> Wo hat die Funktion [mm]f:\IR^2->\IR[/mm] mit
> [mm]f(x,y)=(1-x^2-y^2)e^{xy}[/mm] ihr Maximum?
> Hallo!
> Ich muss diese Aufgabe lösen und brauche dazu Hilfe, da
> wir heute in der Vorlesung nur 1 Beispiel hatten und ich
> das Thema noch nicht so ganz verstanden habe.
>
> Für Extrema muss man die ersten partiellen Ableitungen
> bilden.
> Das hab ich mal versucht.
> [mm]\bruch{\partial}{\partial x} f(x,y)=(-2x)e^{xy}+ye^{xy}(1-x^2-y^2)[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial}{\partial y} f(x,y)=(-2y)e^{xy}+xe^{xy}(1-x^2-y^2)[/mm]
>
> Sind die richtig?
> So, und nun sollen diese gleich Null sein, um Extrema zu
> finden.
> In der Vorlesung hat unser Prof [mm]\bruch{\partial}{\partial x}[/mm]
> f(x,y) mal x genommen und [mm]\bruch{\partial}{\partial y}[/mm]
> f(x,y) mal y und dann die erste von der zweiten Gleichung
> abgezogen. SO hab ich das auch gemacht und dann bekomme
> ich
> [mm]-2x^2+2y^2=0[/mm] <=> [mm]y^2=x^2[/mm] <=> y=x
> Setze y und [mm]y^2[/mm] in die erste Ableitung(die nach x) ein und
> bekomme
> [mm]-2xe^{x^2}+xe^{x^2}(1-2x^2)=0[/mm]
> [mm]e^{x^2}[/mm] ist gleich 1, wenn es eine Lösung der Gleichung
> ist
> => [mm]-2x+x-2x^3=0[/mm] <=> [mm]x(x^2+1)=0[/mm]
> Daraus würde folgen, dass es 3 Extrema gibt, bei (0,0),
> bei (1,1) und bei (-1,-1)
>
hallo ich mach das auch grade aber wie kommste denn auf [mm] x(x^2+1)=0 [/mm] ?
iwie komme ich da auf [mm] x(1+2x^2)=0
[/mm]
> Ist das alles soweit richtig? Ich bezweifel das, weil es
> irgendwie zu einfach wär.
>
> Ich freue mich über jede Hilfe
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Di 15.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]-2x^2+2y^2=0[/mm] <=> [mm]y^2=x^2[/mm] <=> y=x
> > Setze y und [mm]y^2[/mm] in die erste Ableitung(die nach x) ein
> und
> > bekomme
> > [mm]-2xe^{x^2}+xe^{x^2}(1-2x^2)=0[/mm]
> > [mm]e^{x^2}[/mm] ist gleich 1, wenn es eine Lösung der
> Gleichung
> > ist
> > => [mm]-2x+x-2x^3=0[/mm] <=> [mm]x(x^2+1)=0[/mm]
> > Daraus würde folgen, dass es 3 Extrema gibt, bei
> (0,0),
> > bei (1,1) und bei (-1,-1)
> >
> hallo ich mach das auch grade aber wie kommste denn auf
> [mm]x(x^2+1)=0[/mm] ?
> iwie komme ich da auf [mm]x(1+2x^2)=0[/mm]
ja, Deine Umformung (falls bis dahin nmoch kein Fehler passier sein sollte) sollte stimmen (ich habe auch vorher nichts nachgerechnet):
Gehen wir mal davon aus, dass die Rechnung bis
[mm] $$-2x+x-2x^3=0$$
[/mm]
stimmen wird (hoffentlich! Wie gesagt: Ich habe nichts nachgerechnet!). Dann:
[mm] $$-2x+x-2x^3=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw -x-2x^3=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x+2x^3=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x*(1+2x^2)=0$$
[/mm]
[mm] $$\underset{\text{da }1+2x^2 \ge 1 > 0}{\gdw}x=0\,.$$
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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