Maximum, beschränktes Gebiet < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f:\IC\to\IC, f(z)=-4+6z-z^{2}. [/mm] Bestimmen Sie [mm] z_{0}\in [/mm] G, so dass [mm] |f(z_{0})|=\max_{z\in G}|f(z)| [/mm] mit [mm] G=[z\in\IC:|z-3|\le1].
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie das Maximumprinzip. |
Hallo Matheraum,
in der Musterlösung steht folgender Ansatz
Da int(G) ein beschränktes Gebiet und f eine auf G stetige und auf int(G) holomorphe Funktion ist, folgt mit dem Maximumprinzip, dass [mm] z_{0} [/mm] auf der Kurve
[mm] K=[z\in\IC:z(t)=3+e^{it},t\in[0,2\pi]] [/mm] liegt.
Einsetzen liefert:
[mm] |-4+6(3+e^{it})-(3+e^{it})^{2}|^{2}
[/mm]
[mm] =|5-cos(2t)-isin(2t)|^{2} [/mm] (1)
[mm] =(5-cos(2t))^{2}+sin^{2}(2t) [/mm] (2)
Meine Frage:
Wie komme ich hier von (1) auf (2)? Die Dreiecksungleichung sagt doch eigentlich, dass diese Umformung falsch ist, oder? Habe ich vielleicht den Pythagoras oder ein Binom übersehen?
Gruß, Marcel
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst nur die Def. des Betrages einer komplexen Zahl .
Setze $x = 5-cos(2t)$ und $y = -sin(2t) $.
Dann ist
[mm] $|5-cos(2t)-isin(2t)|^{2} [/mm] $ = [mm] $|x+iy|^2 [/mm] = [mm] x^2+y^2 =(5-cos(2t))^{2}+sin^{2}(2t) [/mm] $
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:23 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Okay, vielen Dank nochmal soweit.
Dann erhalte ich also
26-10cos(2t).
Dieser Ausdruck wird maximal, wenn die Differenz möglichst groß wird. Dazu muss der cos sein Minimum, also (-1) annehmen. Durch den doppelten Winkel erhalten wir dafür also
cos(2t)=(-1) für [mm] t=\bruch{\pi}{2} [/mm] und [mm] \bruch{3\pi}{2}.
[/mm]
Das Maximum wird dann also an den Stellen (3+i) und (3-i) angenommen und hat den Wert
[mm] f(z_{0})=\wurzel{26-10(-1)}=6. [/mm]
Meine Frage:
Woher kommt die Wurzel aus [mm] f(z_{0})? [/mm]
Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Okay, vielen Dank nochmal soweit.
>
>
> Dann erhalte ich also
>
>
> 26-10cos(2t).
>
>
>
> Dieser Ausdruck wird maximal, wenn die Differenz möglichst
> groß wird. Dazu muss der cos sein Minimum, also (-1)
> annehmen. Durch den doppelten Winkel erhalten wir dafür
> also
>
>
> cos(2t)=(-1) für [mm]t=\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\bruch{3\pi}{2}.[/mm]
>
>
>
> Das Maximum wird dann also an den Stellen (3+i) und (3-i)
> angenommen und hat den Wert
>
>
> [mm]f(z_{0})=\wurzel{26-10(-1)}=6.[/mm]
?????????????????????????????
>
>
>
>
> Meine Frage:
>
>
> Woher kommt die Wurzel aus [mm]f(z_{0})?[/mm]
>
Ich sehe keine Wurzel aus [mm]f(z_{0})[/mm] !!!
Das gesuchte Maximum ist also $|f(3 [mm] \pm [/mm] i)|$. Rechne doch nun einfach nach, dass
$|f(3 [mm] \pm [/mm] i)| = 6$
FRED
>
>
>
>
> Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Okay, vielen Dank nochmal soweit.
> >
> >
> > Dann erhalte ich also
> >
> >
> > 26-10cos(2t).
> >
> >
> >
> > Dieser Ausdruck wird maximal, wenn die Differenz möglichst
> > groß wird. Dazu muss der cos sein Minimum, also (-1)
> > annehmen. Durch den doppelten Winkel erhalten wir dafür
> > also
> >
> >
> > cos(2t)=(-1) für [mm]t=\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\bruch{3\pi}{2}.[/mm]
> >
> >
> >
> > Das Maximum wird dann also an den Stellen (3+i) und (3-i)
> > angenommen und hat den Wert
> >
> >
> > [mm]f(z_{0})=\wurzel{26-10(-1)}=6.[/mm]
Na ja, so stehts jedenfalls in der Lösung. Mich hat auch schon das Quadrat ganz am Anfang über dem Betrag stutzig gemacht. Wird wohl eine Vereinfachung sein. Na ja, vielen Dank jedenfalls.
> ?????????????????????????????
>
> >
> >
> >
> >
> > Meine Frage:
> >
> >
> > Woher kommt die Wurzel aus [mm]f(z_{0})?[/mm]
> >
>
>
> Ich sehe keine Wurzel aus [mm]f(z_{0})[/mm] !!!
>
>
>
> Das gesuchte Maximum ist also [mm]|f(3 \pm i)|[/mm]. Rechne doch
> nun einfach nach, dass
>
> [mm]|f(3 \pm i)| = 6[/mm]
>
> FRED
> >
> >
> >
> >
> > Gruß, Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Do 12.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > Okay, vielen Dank nochmal soweit.
> > >
> > >
> > > Dann erhalte ich also
> > >
> > >
> > > 26-10cos(2t).
> > >
> > >
> > >
> > > Dieser Ausdruck wird maximal, wenn die Differenz möglichst
> > > groß wird. Dazu muss der cos sein Minimum, also (-1)
> > > annehmen. Durch den doppelten Winkel erhalten wir dafür
> > > also
> > >
> > >
> > > cos(2t)=(-1) für [mm]t=\bruch{\pi}{2}[/mm] und [mm]\bruch{3\pi}{2}.[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > Das Maximum wird dann also an den Stellen (3+i) und (3-i)
> > > angenommen und hat den Wert
> > >
> > >
> > > [mm]f(z_{0})=\wurzel{26-10(-1)}=6.[/mm]
>
>
> Na ja, so stehts jedenfalls in der Lösung.
Auch Lösungen können falsch sein !
> Mich hat auch
> schon das Quadrat ganz am Anfang über dem Betrag stutzig
> gemacht. Wird wohl eine Vereinfachung sein. Na ja, vielen
> Dank jedenfalls.
Beachte:
|f(z)| nimmt ein Max. in [mm] z_0 [/mm] an [mm] \gdw |f(z)|^2 [/mm] nimmt ein Max. in [mm] z_0 [/mm] an
Mit [mm] |,|^2 [/mm] lässt sich einfacher rechnen !
FRED
>
>
> > ?????????????????????????????
> >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Meine Frage:
> > >
> > >
> > > Woher kommt die Wurzel aus [mm]f(z_{0})?[/mm]
> > >
> >
> >
> > Ich sehe keine Wurzel aus [mm]f(z_{0})[/mm] !!!
> >
> >
> >
> > Das gesuchte Maximum ist also [mm]|f(3 \pm i)|[/mm]. Rechne doch
> > nun einfach nach, dass
> >
> > [mm]|f(3 \pm i)| = 6[/mm]
> >
> > FRED
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Gruß, Marcel
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:12 Do 12.03.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir.
|
|
|
|
