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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 24.07.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | | Sei Q={z [mm] \in \IC; [/mm] Rez, Imz [mm] \in [/mm] (0,1)}. Bestimme für die Fkt f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC, f(z)=z^2-2z [/mm] den maximalen Wert von |f(z)| auf [mm] \overline{Q}. [/mm] |
Hallo,
ich denke man sollte hier das Maximumprinzip anwenden. Q ist ein Gebiet . Q ist offensichtlich beschränkt und f: [mm] \overline{Q} [/mm] --> [mm] \IC [/mm] ist stetig und f ist holomorph auf Q und nicht konstant. Nach dem Maximumprinzip gilt dass |f(z)| seinen maximalen Wert auf [mm] \partial [/mm] Q annimmt. Wie bestimme ich diesem Wert aber nun. Q ist ja (geometrisch) ein Quadrat, dessen Ränder sind doch dann (1,y), (x,1), (x,0) und (0,y) mit [mm] f(x+iy)=x^2-2x-y^2+2iy(x-1). [/mm] Stimmt das so? Und wie geht's dann weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Fr 24.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei Q={z [mm]\in \IC;[/mm] Rez, Imz [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(0,1)}. Bestimme für die
> Fkt f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC, f(z)=z^2-2z[/mm] den maximalen Wert von
> |f(z)| auf [mm]\overline{Q}.[/mm]
> Hallo,
>
> ich denke man sollte hier das Maximumprinzip anwenden. Q
> ist ein Gebiet . Q ist offensichtlich beschränkt und f:
> [mm]\overline{Q}[/mm] --> [mm]\IC[/mm] ist stetig und f ist holomorph auf Q
> und nicht konstant. Nach dem Maximumprinzip gilt dass
> |f(z)| seinen maximalen Wert auf [mm]\partial[/mm] Q annimmt. Wie
> bestimme ich diesem Wert aber nun. Q ist ja (geometrisch)
> ein Quadrat, dessen Ränder sind doch dann (1,y), (x,1),
> (x,0) und (0,y)
Ja, wobei x,y [mm] \in [/mm] [0,1]
> mit [mm]f(x+iy)=x^2-2x-y^2+2iy(x-1).[/mm] Stimmt das
> so?
Ja
> Und wie geht's dann weiter?
Rechnen !!!
z.B.: sei 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1. Dann ist [mm] |f(x+i0)|=|x^2-2x| \le [/mm] |f(1+i0)|=1. Zeige das ! Das ist Schulmathematik.
Oder:
sei 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le1: [/mm] Dann ist [mm] |f(1+iy)|=|-1-y^2|=1+y^2 \le [/mm] |f(1+i)|=2.
Die anderen beiden Kanten von [mm] \overline{Q} [/mm] erledigst nun Du.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Fr 24.07.2015 | | Autor: | rollroll |
Für (x,1) erhalte ich |f(x+i)| [mm] \le [/mm] 3 und für (0,y) habe ich |f(0+iy)| [mm] \le \wurzel{5}. [/mm] Also ist der maximale Wert 3.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Fr 24.07.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für (x,1) erhalte ich |f(x+i)| [mm]\le[/mm] 3 und für (0,y) habe
> ich |f(0+iy)| [mm]\le \wurzel{5}.[/mm] Also ist der maximale Wert 3.
Stimmt.
FRED
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