Maximum einer Kreisgleichung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Fr 03.01.2014 | | Autor: | MatheKid |
Also ich habe mich folgendes gefragt.
Gegeben sei eine Kreisgleichung der Form:
x² + y² = ax + bx + c
Welchen höhsten Wert kann die Gleichung dx + ey annehmen?
Es gibt ja viele geordnete Paare, die die Kreisgleichung erfüllen. Aber wie ermittelt man das Paar, das zusammen die höhste Summe hat?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Fr 03.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Also ich habe mich folgendes gefragt.
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> Gegeben sei eine Kreisgleichung der Form:
> x² + y² = ax + bx + c
>
> Welchen höhsten Wert kann die Gleichung dx + ey annehmen?
Die richtige Antwort lautet "Banane".
Übrigens ist ein einzelner Term keine Gleichung.
Jetzt mal im Ernst: wie lautet die Aufgabe richtig? Was ist sollen d und e sein?
Gruß Abakus
>
> Es gibt ja viele geordnete Paare, die die Kreisgleichung
> erfüllen. Aber wie ermittelt man das Paar, das zusammen
> die höhste Summe hat?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Fr 03.01.2014 | | Autor: | MatheKid |
Es gibt keine direkte Aufgabe dazu. Das a,b,c, d und e sind beliebige reelle Koeffizienten.
Wenn man zum Beispiel die Gleichung gegeben x²+y² = 6x + 4y + 2 hat.
Welchen höhsten Wert kann dann beispielsweise der Term 3x + 8y annehmen?
Mögliche geordnete Paare für die Gleichung wären doch [mm] (0;2-\wurzel{6}) [/mm] und [mm] (0;2+\wurzel{6}). [/mm]
Diese Werte in den Term eingegeben, ergeben dann:
3(0) + [mm] 8(2-\wurzel{6}) [/mm] = -3.5955...
3(0) + [mm] 8(2+\wurzel{6}) [/mm] = 35.595...
Nun gibt es aber doch viel mehr geordnete Paare. Meine Frage war nun, wie man das Zahlenpaar ermittelt, das dann in den Term eingegeben den größt möglichen Wert gibt für diesen Term.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 Fr 03.01.2014 | | Autor: | abakus |
> Es gibt keine direkte Aufgabe dazu. Das a,b,c, d und e sind
> beliebige reelle Koeffizienten.
>
> Wenn man zum Beispiel die Gleichung gegeben x²+y² = 6x +
> 4y + 2 hat.
>
> Welchen höhsten Wert kann dann beispielsweise der Term 3x
> + 8y annehmen?
Hallo,
alle Punkte der Ebene, für die 3x+8y einen bestimmten konstanten Wert einnehmen, liegen auf einer Geraden.
Die Punkte, für die diese Summe 0 ist, liegen auf der Geraden 3x+8y=0.
Die Punkte, für die diese Summe 5 ist, liegen auf der Geraden 3x+8y=5.
Allgemein:
Die Punkte, für die diese Summe s ist, liegen auf der Geraden 3x+8y=s.
Eine solche Gerade kann den Kreis schneiden. Dann hat man also zwei Kreispunkte mit eben der betrachteten Summe.
Wenn man nun die Gerade 3x+8y=s ein wenig parallel verschiebt wird s entweder etwas größer oder etwas kleiner. Wenn s größer wird und die Gerade immer noch den Kreis schneidet, dann hat man zwei Kreispunkte mit einer etwas größeren Summe gefunden.
Wenn man die Gerade nun so weit verschiebt, dass sie den Kreis nur noch in einem Punkt berührt, dann hat man eine extreme Summe gefunden.
Man muss s also so wählen, dass 3x+8y=s eine Tangente am gegebenen Kreis ist. Für dieses s gibt es zwei Möglichkeiten, eine liefert die minimale und eine die maximale Summe.
Gruß Abakus
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> Mögliche geordnete Paare für die Gleichung wären doch
> [mm](0;2-\wurzel{6})[/mm] und [mm](0;2+\wurzel{6}).[/mm]
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> Diese Werte in den Term eingegeben, ergeben dann:
>
> 3(0) + [mm]8(2-\wurzel{6})[/mm] = -3.5955...
> 3(0) + [mm]8(2+\wurzel{6})[/mm] = 35.595...
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> Nun gibt es aber doch viel mehr geordnete Paare. Meine
> Frage war nun, wie man das Zahlenpaar ermittelt, das dann
> in den Term eingegeben den größt möglichen Wert gibt
> für diesen Term.
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