Maximum konvexe Fkt < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:09 So 14.11.2010 | | Autor: | Kayle |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR^n\to\IR [/mm] konvex und es gelte [mm] \forall m\in\IN \exists 0\le R\in\IR \forall |x|\ge [/mm] R: [mm] f(x)\ge [/mm] m|x|.
Zeigen Sie:
i) [mm] \forall y\in\IR^n [/mm] nimmt die Funktion
F(x):= [mm] \summe_{i=1}^{n}y_i x_i-f(x)
[/mm]
ihr Maximum in einem Punkt [mm] x_y [/mm] an.
ii) [mm] x_y [/mm] ist nicht notwendig eindeutig bestimmt. (Gegenbeispiel angeben)
iii) Die Funkion
[mm] g(y):=max\{\summe_{i=1}^{n}y_i x_i -f(x) | x\in\IR^n\}
[/mm]
ist konvex und stetig.
iv) Berechnen Sie g(y) für [mm] y\in\IR [/mm] beliebig und [mm] f:\IR\to\R, f(x)=e^{|x|}. [/mm] |
Hallo,
ich komm bei meiner Aufgabe hier nicht weiter.
Kann mir vielleicht Jemand Hinweise geben, wie ich die einzelnen Teilaufgaben angehen könnte. Allein mit der Def. über konvexe Funktionen
[mm] f(\alpha x+(1-\alpha)y) \le \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y), \forall x,y\in\IR^N, \alpha\in[0,1] [/mm] komme ich hier nicht weiter.
Bin dankbar über jede Hilfe!
Viele Grüße
Kayle
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 So 14.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Mh, keine Ideen oder Hinweise? Ich find einfach kein Material um die Aufgabe zu lösen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 So 14.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
(i) Fang damit an, daß F konkav ist.
(ii) n=1, d.h. betrachte es im 1-dimensionalen und *zeichne* es Dir auf.
Bau Dir f aus 2 Teilen zusammen. Der eine erfüllt die Bedingung, daß er lauter optimale Punkte enthält (d.h. eine Gerade), der andere erfüllt die Bedingung an f, daß es superlinear wächst (das [mm] $\forall m\in\IN\ \exists\, 0\le R\in\IR:\ \forall |x|\ge [/mm] R:\ [mm] f(x)\ge [/mm] m|x|. $ )
(iii) wie lautet die Bedingung für Konvexität, wenn Du da g einsetzt?
(iv) [mm] $y\in\IR$, [/mm] d.h. n=1, d.h. zeichnen, zeichnen, zeichnen.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 So 14.11.2010 | | Autor: | Kayle |
Danke Stefan,
ich probier mich mal!
Viele Grüße
|
|
|
|
