Maximum und Nullstelle stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Surt |
| Aufgabe 1 | Seien [mm] \alpha,\beta \in \IR [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] < [mm] \beta. [/mm] Zeige, dass es ein [mm] x\in(\alpha,\beta) [/mm] gibt mit
[mm] \frac{x^{2}+1}{x-\alpha} [/mm] + [mm] \frac{x^{6}+1}{x-\beta}=0 [/mm] |
| Aufgabe 2 | Es sei f: [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion, welche
[mm] \lim_{x\to\pm\infty} [/mm] f(x) = 0
erfüllt. Zeige, dass es ein z [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass für alle [mm] x\in \IR [/mm] die Abschätzung
[mm] \abs{f(x)} \le \abs{f(z)}
[/mm]
gilt. |
Hallo,
Ich habe ein paar Fragen zu diesen 2 Aufgaben.
Zu Aufgabe 1 habe ich mir folgendes überlegt:
Die Funktion muss stetig sein, weil Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen wieder stetig ist und [mm] x^{2}+1, x^{6}+1, x-\alpha [/mm] und [mm] x-\beta [/mm] alle stetig sind.
Wenn ich jetzt in Intervall [mm] (\alpha,\beta) [/mm] die Grenzwerte betrachte, sehe ich, dass [mm] \lim_{x\to\alpha} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \lim_{x\to\beta}=-\infty. [/mm]
Aus dem Zwischenwertsatz und der Stetigkeit von f folgt jetzt direkt, dass es ein x mit der geforderten Eigenschaft geben muss. Kann man das so zeigen?
Meine Überlegungen zu Aufgabe 2:
f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig. Das heißt insbesondere, dass f keine Definitionslücken, also auch keine Polstellen besitzt. Weil die Grenzwerte im unendlichen 0 werden muss es also einen größten/kleinsten Funktionswert geben.
Das ist leider nur eine grobe Argumentation. Wie kann ich das mathematisch Ausdrücken?
Viele Grüße
Surt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 25.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]\alpha,\beta \in \IR[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] < [mm]\beta.[/mm] Zeige, dass
> es ein [mm]x\in(\alpha,\beta)[/mm] gibt mit
>
> [mm]\frac{x^{2}+1}{x-\alpha}[/mm] + [mm]\frac{x^{6}+1}{x-\beta}=0[/mm]
> Es sei f: [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] eine stetige Funktion,
> welche
>
> [mm]\lim_{x\to\pm\infty}[/mm] f(x) = 0
>
> erfüllt. Zeige, dass es ein z [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass für
> alle [mm]x\in \IR[/mm] die Abschätzung
>
> [mm]\abs{f(x)} \le \abs{f(z)}[/mm]
>
> gilt.
> Hallo,
> Ich habe ein paar Fragen zu diesen 2 Aufgaben.
>
> Zu Aufgabe 1 habe ich mir folgendes überlegt:
>
> Die Funktion muss stetig sein, weil Summe, Differenz,
> Produkt und Quotient stetiger Funktionen wieder stetig ist
> und [mm]x^{2}+1, x^{6}+1, x-\alpha[/mm] und [mm]x-\beta[/mm] alle stetig
> sind.
> Wenn ich jetzt in Intervall [mm](\alpha,\beta)[/mm] die Grenzwerte
> betrachte, sehe ich, dass [mm]\lim_{x\to\alpha}[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\lim_{x\to\beta}=-\infty.[/mm]
> Aus dem Zwischenwertsatz und der Stetigkeit von f folgt
> jetzt direkt, dass es ein x mit der geforderten Eigenschaft
> geben muss. Kann man das so zeigen?
Ja
>
> Meine Überlegungen zu Aufgabe 2:
> f ist auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig. Das heißt insbesondere, dass f
> keine Definitionslücken, also auch keine Polstellen
> besitzt. Weil die Grenzwerte im unendlichen 0 werden muss
> es also einen größten/kleinsten Funktionswert geben.
> Das ist leider nur eine grobe Argumentation. Wie kann ich
> das mathematisch Ausdrücken?
Tipps:
1. Wegen $ [mm] \lim_{x\to\pm\infty} [/mm] $ f(x) = 0 gibt es ein c>0 mit:
|f(x)| [mm] \le [/mm] 1 für |x|>c
2. Es gibt ein [mm] x_0 \in [/mm] [-c,c] mit: f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [-c,c]
FRED
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> Viele Grüße
> Surt
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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