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Maximum und Nullstelle stetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Mo 25.06.2012
Autor: Surt

Aufgabe 1
Seien [mm] \alpha,\beta \in \IR [/mm] mit [mm] \alpha [/mm] < [mm] \beta. [/mm] Zeige, dass es ein [mm] x\in(\alpha,\beta) [/mm] gibt mit

[mm] \frac{x^{2}+1}{x-\alpha} [/mm] + [mm] \frac{x^{6}+1}{x-\beta}=0 [/mm]

Aufgabe 2
Es sei f: [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] eine stetige Funktion, welche

[mm] \lim_{x\to\pm\infty} [/mm] f(x) = 0

erfüllt. Zeige, dass es ein z [mm] \in \IR [/mm] gibt, so dass für alle [mm] x\in \IR [/mm] die Abschätzung

[mm] \abs{f(x)} \le \abs{f(z)} [/mm]

gilt.

Hallo,
Ich habe ein paar Fragen zu diesen 2 Aufgaben.

Zu Aufgabe 1 habe ich mir folgendes überlegt:

Die Funktion muss stetig sein, weil Summe, Differenz, Produkt und Quotient stetiger Funktionen wieder stetig ist und [mm] x^{2}+1, x^{6}+1, x-\alpha [/mm] und [mm] x-\beta [/mm] alle stetig sind.
Wenn ich jetzt in Intervall [mm] (\alpha,\beta) [/mm] die Grenzwerte betrachte, sehe ich, dass [mm] \lim_{x\to\alpha} [/mm] = [mm] \infty [/mm] und [mm] \lim_{x\to\beta}=-\infty. [/mm]
Aus dem Zwischenwertsatz und der Stetigkeit von f folgt jetzt direkt, dass es ein x mit der geforderten Eigenschaft geben muss. Kann man das so zeigen?

Meine Überlegungen zu Aufgabe 2:
f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] stetig. Das heißt insbesondere, dass f keine Definitionslücken, also auch keine Polstellen besitzt. Weil die Grenzwerte im unendlichen 0 werden muss es also einen größten/kleinsten Funktionswert geben.
Das ist leider nur eine grobe Argumentation. Wie kann ich das mathematisch Ausdrücken?

Viele Grüße
Surt

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Maximum und Nullstelle stetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 Mo 25.06.2012
Autor: fred97


> Seien [mm]\alpha,\beta \in \IR[/mm] mit [mm]\alpha[/mm] < [mm]\beta.[/mm] Zeige, dass
> es ein [mm]x\in(\alpha,\beta)[/mm] gibt mit
>  
> [mm]\frac{x^{2}+1}{x-\alpha}[/mm] + [mm]\frac{x^{6}+1}{x-\beta}=0[/mm]
>  Es sei f: [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] eine stetige Funktion,
> welche
>  
> [mm]\lim_{x\to\pm\infty}[/mm] f(x) = 0
>  
> erfüllt. Zeige, dass es ein z [mm]\in \IR[/mm] gibt, so dass für
> alle [mm]x\in \IR[/mm] die Abschätzung
>
> [mm]\abs{f(x)} \le \abs{f(z)}[/mm]
>  
> gilt.
>  Hallo,
>  Ich habe ein paar Fragen zu diesen 2 Aufgaben.
>  
> Zu Aufgabe 1 habe ich mir folgendes überlegt:
>  
> Die Funktion muss stetig sein, weil Summe, Differenz,
> Produkt und Quotient stetiger Funktionen wieder stetig ist
> und [mm]x^{2}+1, x^{6}+1, x-\alpha[/mm] und [mm]x-\beta[/mm] alle stetig
> sind.
>  Wenn ich jetzt in Intervall [mm](\alpha,\beta)[/mm] die Grenzwerte
> betrachte, sehe ich, dass [mm]\lim_{x\to\alpha}[/mm] = [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\lim_{x\to\beta}=-\infty.[/mm]
> Aus dem Zwischenwertsatz und der Stetigkeit von f folgt
> jetzt direkt, dass es ein x mit der geforderten Eigenschaft
> geben muss. Kann man das so zeigen?

Ja


>  
> Meine Überlegungen zu Aufgabe 2:
>  f ist auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig. Das heißt insbesondere, dass f
> keine Definitionslücken, also auch keine Polstellen
> besitzt. Weil die Grenzwerte im unendlichen 0 werden muss
> es also einen größten/kleinsten Funktionswert geben.
>  Das ist leider nur eine grobe Argumentation. Wie kann ich
> das mathematisch Ausdrücken?

Tipps:

1. Wegen $ [mm] \lim_{x\to\pm\infty} [/mm] $ f(x) = 0 gibt es ein c>0 mit:

                      |f(x)| [mm] \le [/mm] 1 für |x|>c

2. Es gibt ein [mm] x_0 \in [/mm] [-c,c] mit: f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] für alle  x [mm] \in [/mm] [-c,c]

FRED




>  
> Viele Grüße
>  Surt
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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