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| Aufgabe | Es seien [mm] a_{1}, ..., a_{n} [/mm] Punkte auf dem Einheitskreis in [mm] \IC. [/mm] Zeigen Sie mit Hilfe des Maximumprinzipes, dass ein z auf dem Einheitskreis existiert, so dass [mm] \produkt_{j=1}^{n}d(z,a_{j}) \ge 1 [/mm]
Hier bezeichnet [mm] d(z,w)=|z-w| [/mm] die Distanz zwischen z und w bezüglich der Euklidischen Metrik auf [mm] \IC.
[/mm]
Das Maximumprinzip besagt, dass mit einer holomorphen Funktion [mm] f: D \to \IC, z_{0} \in D, sd. |f(z_{0})|=sup_{z \in D }|f(z)| [/mm] folgt: f ist konstant. |
Hallo!
Ich habe den Beweis vorliegen, verstehe aber den letzten Schritt nicht. Folgender Maßen sieht das ganze aus:
Es gilt: [mm] \produkt_{j=1}^{n}d(z,a_{j}) = \produkt_{j=1}^{n}|z-a_{j}| = | \produkt_{j=1}^{n}(z-a_{j})| [/mm]
Sei [mm] f(z) = \produkt_{j=1}^{n}(z-a_{j}), f: \IC \to \IC [/mm] holomorph.
Es ist [mm] |f(0)|=|(-1)^{n} \produkt_{j=1}^{n} a_{j} | = 1, da |a_{j}|=1 \forall j \in {1,...n} [/mm]
und [mm] f(a_{j})=0 [/mm]
f hat also mindestens zwei verschiedene Werte, ist also nicht konstant.
Durch das Maximumsprinzip folgt dann: [mm] f(z_{0}) \ge 1 [/mm] für [mm] z_{0} [/mm] auf dem Rand.
Wie gesagt, den letzten Schritt verstehe ich nicht.
Da f nicht konstant ist, dreht es das Maximumsprinzip ja um, dh. es gibt eben kein [mm] z_{0} \in D, sd. |f(z_{0})|=sup_{z \in D }|f(z)| [/mm] , oder?
Aber was sagt mir das?
Wie komme ich somit auf die letzte Folgerung?
Kann mir das jemand erklären? Das wäre super!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Di 19.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm]a_{1}, ..., a_{n}[/mm] Punkte auf dem Einheitskreis in
> [mm]\IC.[/mm] Zeigen Sie mit Hilfe des Maximumprinzipes, dass ein z
> auf dem Einheitskreis existiert, so dass
> [mm]\produkt_{j=1}^{n}d(z,a_{j}) \ge 1[/mm]
>
> Hier bezeichnet [mm]d(z,w)=|z-w|[/mm] die Distanz zwischen z und w
> bezüglich der Euklidischen Metrik auf [mm]\IC.[/mm]
>
> Das Maximumprinzip besagt, dass mit einer holomorphen
> Funktion [mm]f: D \to \IC, z_{0} \in D, sd. |f(z_{0})|=sup_{z \in D }|f(z)|[/mm]
> folgt: f ist konstant.
> Hallo!
> Ich habe den Beweis vorliegen, verstehe aber den letzten
> Schritt nicht. Folgender Maßen sieht das ganze aus:
>
> Es gilt: [mm]\produkt_{j=1}^{n}d(z,a_{j}) = \produkt_{j=1}^{n}|z-a_{j}| = | \produkt_{j=1}^{n}(z-a_{j})|[/mm]
>
> Sei [mm]f(z) = \produkt_{j=1}^{n}(z-a_{j}), f: \IC \to \IC[/mm]
> holomorph.
> Es ist [mm]|f(0)|=|(-1)^{n} \produkt_{j=1}^{n} a_{j} | = 1, da |a_{j}|=1 \forall j \in {1,...n}[/mm]
>
> und [mm]f(a_{j})=0[/mm]
> f hat also mindestens zwei verschiedene Werte, ist also
> nicht konstant.
> Durch das Maximumsprinzip folgt dann: [mm]f(z_{0}) \ge 1[/mm] für
> [mm]z_{0}[/mm] auf dem Rand.
Es soll wohl [mm]|f(z_{0})| \ge 1[/mm] .... lauten.
>
> Wie gesagt, den letzten Schritt verstehe ich nicht.
Benutzt wurde folgende Version des Maximumprinzips:
Sei G ein beschränktes Gebiet in [mm] \IC, $f:\overline{G} \to \IC$ [/mm] stetig, sei f auf G holomorph und sei f nicht konstant. Dann gilt:
$|f(z)| < [mm] \max \{|f(w)|: w \in \partial G\}$ [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] G.
FRED
> Da f nicht konstant ist, dreht es das Maximumsprinzip ja
> um, dh. es gibt eben kein [mm]z_{0} \in D, sd. |f(z_{0})|=sup_{z \in D }|f(z)|[/mm]
> , oder?
> Aber was sagt mir das?
> Wie komme ich somit auf die letzte Folgerung?
> Kann mir das jemand erklären? Das wäre super!
>
> Grüßle, Lily
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Hallo!
Vielen Dank für die Antwort!
> > f hat also mindestens zwei verschiedene Werte, ist also
> > nicht konstant.
> > Durch das Maximumsprinzip folgt dann: [mm]f(z_{0}) \ge 1[/mm]
> für
> > [mm]z_{0}[/mm] auf dem Rand.
>
>
> Es soll wohl [mm]|f(z_{0})| \ge 1[/mm] .... lauten.
>
> Benutzt wurde folgende Version des Maximumprinzips:
>
> Sei G ein beschränktes Gebiet in [mm]\IC,[/mm] [mm]f:\overline{G} \to \IC[/mm]
> stetig, sei f auf G holomorph und sei f nicht konstant.
> Dann gilt:
>
> [mm]|f(z)| < \max \{|f(w)|: w \in \partial G\}[/mm] für alle z [mm]\in[/mm]
> G.
Das heißt dann doch, dass der Betrag von f immer kleiner ist, als sein Maximum (logisch), das sich auf dem Rand des Gebiets (hier also dem Einheitskreis) befindet, oder?
hm... aber wie komme ich dann dazu das Ungleichungszeichen "umzudrehen"? Bzw. eine Abschätzung in die andere Richtung zu machen?
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:46 Di 19.08.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort!
>
> > > f hat also mindestens zwei verschiedene Werte, ist also
> > > nicht konstant.
> > > Durch das Maximumsprinzip folgt dann: [mm]f(z_{0}) \ge 1[/mm]
> > für
> > > [mm]z_{0}[/mm] auf dem Rand.
> >
> >
> > Es soll wohl [mm]|f(z_{0})| \ge 1[/mm] .... lauten.
> >
>
> > Benutzt wurde folgende Version des Maximumprinzips:
> >
> > Sei G ein beschränktes Gebiet in [mm]\IC,[/mm] [mm]f:\overline{G} \to \IC[/mm]
> > stetig, sei f auf G holomorph und sei f nicht konstant.
> > Dann gilt:
> >
> > [mm]|f(z)| < \max \{|f(w)|: w \in \partial G\}[/mm] für alle z [mm]\in[/mm]
> > G.
>
> Das heißt dann doch, dass der Betrag von f immer kleiner
> ist, als sein Maximum (logisch), das sich auf dem Rand des
> Gebiets (hier also dem Einheitskreis) befindet, oder?
Ja
>
> hm... aber wie komme ich dann dazu das Ungleichungszeichen
> "umzudrehen"?
?????
Bei Dir ist [mm] G=\{z \in \IC:|z|<1\}
[/mm]
Es ist $1=|f(0)| < [mm] \max \{|f(w)|: |w| =1\}$. [/mm]
Also ex. ein [mm] z_0 [/mm] mit [mm] |z_0|=1 [/mm] und [mm] |f(z_0)|>1
[/mm]
FRED
Bzw. eine Abschätzung in die andere Richtung
> zu machen?
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> Grüßle, Lily
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Di 19.08.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hups! Ich hab in eine ganz andere Richtung gedacht und mich da verlaufen!
Vielen, vielen Dank! 
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