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| Aufgabe | Gegeben sei eine Funktion f, die nichtkonstant und holomorph auf einem Gebiet G [mm] \subseteq \IC [/mm] ist.
Zu zeigen: Das Maximumprinzip gilt nicht nur für |f(z)|, sondern zum Beispiel auch für (Re [mm] f(z))^{4}+(Im f(z))^{4}. [/mm] |
Hallo liebe Leute,
ich weiß bei der Aufgabe überhaupt nicht, wie ich vorgehen soll.
Das Maximumprinzip lautet: eine nichtkonstante holomorphe Funktion auf einem Gebiet G kann kein Betragsmaximum haben.
Nach Vor. ist f nichtkonstant und holomorph auf G. HAt also kein Betragsmaximum. Aber wie beweise ich das für das angegebene Beispiel (Re [mm] f(z))^{4}+(Im f(z))^{4} [/mm] und dass es nicht nur für |f(z)| gilt?
Es wäre supernett, wenn ich ne Antwort bekomme.
Danke!!
Lg, Infinity
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Hi,
also ich denke mal das geht so ungefähr wie ich auch das normale Maximumprinzip beweisen würde.
Angenommen, f nimmt in x aus D ein solches Maximum an. Da f holomorph und nicht konstant, ist f(D) wieder ein Gebiet, also offen. Also liegt um f(x) eine Kugel mit Radius 2r in f(D)(r größer 0). Darin liegt zum Beispiel
y = f(x) + sgn(Re(f(x))*r + sgn(Im(f(x)))*i*r
Dann ist y bzgl. dem Betrag und der anderen Funktion echt größer als x.
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