Maximumprinzip (Supremum) < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \Omega \in \IR^n [/mm] beschränktes Gebiet. u [mm] \in C^2(\Omega) \cap C^0(\overline{\Omega}).
[/mm]
(i) [mm] \Delta [/mm] u > 0 für alle x [mm] \in \Omega. [/mm] z.z.: für alle x [mm] \in \Omega [/mm] gilt $$ u(x) < [mm] sup_{y \in \delta \Omega} [/mm] u(y)$$
(ii) [mm] \Delta [/mm] u [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in \Omega. [/mm] z.z.: $$ [mm] sup_{x \in \Omega} [/mm] u(x) < [mm] sup_{x \in \delta \Omega} [/mm] u(x)$$
Tipp: Berechne [mm] \Delta [/mm] v wobei v(x) := [mm] e^{x_1} [/mm] für x [mm] \in \Omega [/mm] |
Vielen Dank schonmal für die Hilfe.
Ich bin gerade an (i) und hatte vor mit einem Widerspruchsbeweis zu arbeiten. Also sei [mm] \Delta [/mm] u > 0 wie vorausgesetzt, und es existiert ein [mm] x_0 \in \Omega, [/mm] sodass [mm] x_0 [/mm] das Supremum annimmt. Wenn es ein Maximum ist, würde ich jetzt Eigenschaften über die erste und zweite Ableitung anwenden, um dann zu zeigen, dass [mm] \Delta u(x_0) \le [/mm] 0 ist, und damit haben wir einen Widerspruch.
Funktioniert es mit dem Supremum ähnlich oder muss ich das ganz anders angehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Fr 04.11.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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