Maximumsprinzip < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:47 Fr 28.02.2014 | | Autor: | gpw |
| Aufgabe | | Die Funktion f sei auf einem Gebiet G holomorph und nicht-konstant. Zeigen oder widerlegen Sie: In G kann Re(f) kein Minimum und kein Maximum annehmen. |
Hallo zusammen,
die folgende Aufgabe beschäftigt mich in meiner Klausur Vorbereitung.
Ich hätte eine Idee, nur bin ich mir nicht wirklich sicher:
Die Funktion sin(z) ist holomorph auf [mm] \IC [/mm] und nicht konstant . Im Realteil besitzt sie Minima und Maxima.
Damit wäre diese Aussage widerlegt oder hab ich einen Denkfehler?
Vielen Dank und Gruß
gpw
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Dein Irrtum besteht darin, daß der Realteil der Sinusfunktion beschränkt wäre. Das ist mitnichten der Fall. Zerlegt man [mm]z[/mm] in Real- und Imaginärteil: [mm]z = x + \operatorname{i} y[/mm], so gilt:
[mm]\sin(z) = \sin(x) \cdot \cosh(y) + \operatorname{i} \cdot \cos(x) \cdot \sinh(y)[/mm]
Betrachte etwa die Folge der [mm]z_n = \frac{\pi}{2} + \operatorname{i} \cdot n \, , \ n \geq 0[/mm].
Du darfst den Realteil nicht nur für reelle [mm]z[/mm] betrachten.
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