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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:07 Sa 11.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Betrachte die Funktion z-> [mm] e^z [/mm] auf [mm] \{ Re (z) < 0 \} [/mm] und zeige, dass die Folgerung aus dem Minimumsprinzip auf unbeschränkte Gebieten nicht unbedingt erfüllt ist! |
Hallo zusammen
Korollar des Minimumsprinzips:
Sei [mm] \Omega \subset \IC [/mm] ein beschränktes Gebiet. Wenn f nicht konstant [mm] \in H(\Omega)\cap C(\overline{\Omega}) [/mm] ist, so nimmt |f| sein Minimum am Rand [mm] \partial \Omega [/mm] an.
Und ich denke eine Vorraussetzung ist noch, das f im Gebiet nirgends verschwindet (um das Minimumsprinzip überhaupt aus dem Maximumsprinzip folgern zu können)
1) [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{ z \in \IC : Re(z) < 0 \}
[/mm]
Eine Teilmenge in [mm] \IC [/mm] ist beschränkt falls ein r existiert sodass Teilmenge [mm] \subset D_r [/mm] (0)
Der Imaginärteil ist nicht beschränkt also auch [mm] \Omega [/mm] nicht.
2) [mm] e^z [/mm] := [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} [/mm] ist auf ganz [mm] \IC [/mm] eine glm. konvergente Potenzreihe -> holomorphe Funktion auf [mm] \IC, [/mm] und somit auch stetig.
3) [mm] |e^z| [/mm] =...= [mm] |e^x|
[/mm]
wobei z= x+iy
Alle Ideen, die ich dazu hatte:
[mm] (|e^z|)' [/mm] = [mm] (e^x)' [/mm] = [mm] e^x
[/mm]
[mm] e^x [/mm] =0 wenn x -> [mm] -\infty [/mm] strebt.
Heißt dass nun | [mm] e^z [/mm] | hat sein Minimum/Maximum bei [mm] -\infty [/mm] Realteil und beliebigen Imaginärteilt? Ist das im Inneren?
Darf ich hier überhaupt die Auffindung der Extrema so machen wie im Reellen??
Anderer versuch:
[mm] |e^{z_0} [/mm] | [mm] \le |e^{z}| [/mm] für [mm] |z-z_0| [/mm] < r
<=> [mm] e^{x_0} \le e^{x} [/mm] für x [mm] \in ]x_0 [/mm] + r, [mm] x_0 [/mm] -r [
Minimum [mm] z_0 [/mm] im Inneren von [mm] \Omega [/mm] gendau dann wenn [mm] \exists [/mm] r>0 sodass [mm] D_r (z_0 [/mm] ) [mm] \subseteq \Omega
[/mm]
[mm] \partial \Omega [/mm] = [mm] \{ z \in \IC | Re(z)=0\}
[/mm]
[mm] |exp(\partial \Omega)| [/mm] = [mm] e^0 [/mm] =1
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:21 So 12.05.2013 | | Autor: | sissile |
EDIT: Ich hab die Aufgabe schon im Zusmmenarbeit gelöst!
LG
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