Mehrdim. Ableitung& Verkettung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $f:=\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] zweimal differenzierbar. Es sei $g$ gegeben durch $(r, [mm] \theta, [/mm] h) [mm] \rightarrow (rcos(\theta), rsin(\theta), [/mm] h)$, für $r>0, [mm] \theta \in [/mm] [0, [mm] 2\pi), [/mm] h [mm] \in \mathbb{R}.$ [/mm] Das ist der Koordinatenwechsel. Es sei [mm] $\tilde [/mm] f := f [mm] \circ [/mm] g$, i.e. die Funktion $f$ in zylindrischen Koordinaten.
a) Zeigen Sie, dass gilt:
$$ [mm] D\tilde [/mm] f(r, [mm] \theta, [/mm] h) = Df(x, y, z) [mm] \circ [/mm] Dg(r, [mm] \theta, [/mm] h) $$
wobei $x = [mm] rcos(\theta), [/mm] y= [mm] rsin(\theta), [/mm] z = h$ |
hi
ich verstehe diese aufgabe einfach nicht... gut, ich soll zeigen, dass die Ableitung von [mm] $\tilde [/mm] f$ mit der Verkettung der Ableitungen von $f$ und $g$ übereinstimmt. aber ich krieg für mich nicht einmal raus, wie diese Verkettung $f [mm] \circ [/mm] g$ hier aussehen soll, da ich ja völlig unterschiedliche variablen habe. zudem habe ich für $f$ ja nichtmal eine zuordnungsvorschrift gegeben... ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
wäre für einen tipp zu dieser aufgabe SEHR dankbar
Gruß, GB
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ok, mal kurze zwischenfrage: ist das hier richtig?
$$ [mm] \tilde [/mm] f (r, [mm] \theta, [/mm] h) = f [mm] \circ [/mm] g = f(x(r, [mm] \theta, [/mm] h), y(r, [mm] \theta, [/mm] h), z(r, [mm] \theta, [/mm] h))$$
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Hallo GreatBritain,
> ok, mal kurze zwischenfrage: ist das hier richtig?
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> [mm]\tilde f (r, \theta, h) = f \circ g = f(x(r, \theta, h), y(r, \theta, h), z(r, \theta, h))[/mm]
Ja.
Gruß
MathePower
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Hallo GreatBritain,
> Es sei [mm]f:=\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/mm] zweimal
> differenzierbar. Es sei [mm]g[/mm] gegeben durch [mm](r, \theta, h) \rightarrow (rcos(\theta), rsin(\theta), h)[/mm],
> für [mm]r>0, \theta \in [0, 2\pi), h \in \mathbb{R}.[/mm] Das ist
> der Koordinatenwechsel. Es sei [mm]\tilde f := f \circ g[/mm], i.e.
> die Funktion [mm]f[/mm] in zylindrischen Koordinaten.
>
> a) Zeigen Sie, dass gilt:
> [mm]D\tilde f(r, \theta, h) = Df(x, y, z) \circ Dg(r, \theta, h)[/mm]
>
> wobei [mm]x = rcos(\theta), y= rsin(\theta), z = h[/mm]
> hi
> ich verstehe diese aufgabe einfach nicht... gut, ich soll
> zeigen, dass die Ableitung von [mm]\tilde f[/mm] mit der Verkettung
> der Ableitungen von [mm]f[/mm] und [mm]g[/mm] übereinstimmt. aber ich krieg
> für mich nicht einmal raus, wie diese Verkettung [mm]f \circ g[/mm]
> hier aussehen soll, da ich ja völlig unterschiedliche
> variablen habe. zudem habe ich für [mm]f[/mm] ja nichtmal eine
> zuordnungsvorschrift gegeben...
>
> wäre für einen tipp zu dieser aufgabe SEHR dankbar
Betrachte hier
[mm]\tilde{f}\left(r,\theta,h\right)=f\left( \ x\left(r,\theta,h\right), \ y\left(r,\theta,h\right), \ z\left(r,\theta,h\right) \ \right)[/mm]
und differenziere nach [mm]r, \theta, h[/mm].
>
> Gruß, GB
Gruß
MathePower
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> Betrachte hier
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> [mm]\tilde{f}\left(r,\theta,h\right)=f\left( \ x\left(r,\theta,h\right), \ y\left(r,\theta,h\right), \ z\left(r,\theta,h\right) \ \right)[/mm]
>
> und differenziere nach [mm]r, \theta, h[/mm].
>
>
> Gruß
> MathePower
ok, so ganz geblickt hab ich das jetzt immer noch nicht. gehe ich richtig davon aus, dass meine ableitung eine 3x3 matrix ergibt?
hier mal meine erste zeile der matrix, für x, y, z habe ich die angegeben polarkoordinaten eingesetzt.
[mm] $$\pmat{\frac{\partial f(rcos\theta(r, \theta, h))}{\partial r} & \frac{\partial f(rcos\theta(r,\theta, h))}{\partial \theta} & \frac{\partial f(rcos\theta(r, \theta, h))}{\partial h}}$$
[/mm]
in der zweiten Zeile stünde im Zähler jeweils [mm] $\partial f(rsin\theta(r, \theta, [/mm] h))$, in der dritten [mm] $\partial [/mm] f(h(r, [mm] \theta, [/mm] h))$
ist das soweit überhaupt korrekt? wie ich hier ableite weiß ich allerdings nicht...
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Hallo GreatBritain,
> > Betrachte hier
> >
> > [mm]\tilde{f}\left(r,\theta,h\right)=f\left( \ x\left(r,\theta,h\right), \ y\left(r,\theta,h\right), \ z\left(r,\theta,h\right) \ \right)[/mm]
>
> >
> > und differenziere nach [mm]r, \theta, h[/mm].
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
>
>
> ok, so ganz geblickt hab ich das jetzt immer noch nicht.
> gehe ich richtig davon aus, dass meine ableitung eine 3x3
> matrix ergibt?
Die Ableitung nach den Koordinaten [mm]r,\theta,h[/mm] auf jeden Fall.
>
> hier mal meine erste zeile der matrix, für x, y, z habe ich
> die angegeben polarkoordinaten eingesetzt.
>
> [mm]\pmat{\frac{\partial f(rcos\theta(r, \theta, h))}{\partial r} & \frac{\partial f(rcos\theta(r,\theta, h))}{\partial \theta} & \frac{\partial f(rcos\theta(r, \theta, h))}{\partial h}}[/mm]
>
> in der zweiten Zeile stünde im Zähler jeweils [mm]\partial f(rsin\theta(r, \theta, h))[/mm],
> in der dritten [mm]\partial f(h(r, \theta, h))[/mm]
>
> ist das soweit überhaupt korrekt? wie ich hier ableite weiß
> ich allerdings nicht...
Auf der rechten Seite wird nach der
![[]](/images/popup.gif) verallgemeinerten Kettenregel differenziert.
Zum Beispiel ergibt die Ableitung nach r:
[mm]\tilde{f}_{r}=f_{x}*x_{r}+f_{y}*y_{r}+f_{z}*z_{r}[/mm]
bzw.
[mm]\bruch{\partial \tilde{f}}{\partial r}=\bruch{\partial f}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial r}+\bruch{\partial f}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial r}+\bruch{\partial f}{\partial z}*\bruch{\partial z}{\partial r}[/mm]
Für [mm]\theta, h[/mm] entsprechend.
Gruß
MathePower
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