Mehrdimensionale Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | g: [mm] \IR^{n} \to \IR^{p}
[/mm]
f: [mm] \IR^{p} \to \IR^{m}
[/mm]
h(x) = f(g(x))
h: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m}
[/mm]
bestimmen Sie h'(x) mit der Kettenregel, indem:
n=m=p=2 f(u,v) = [mm] \vektor{sin(u-v) \\ cos(u-v)} [/mm] und g(x,y) = [mm] \vektor{x^{2} + y^{2} \\ 2xy } [/mm] |
OK, bitte zu erst kann mir jemand gut diese mehrdimensionale Kettenregel erklären anhand des Beispiels oben ... bitte.
Zweitens, ich habe bemerkt, dass:
g: [mm] \IR^{n} \to \IR^{p}
[/mm]
f: [mm] \IR^{p} \to \IR^{m}
[/mm]
daraus folgt - h: [mm] \IR^{n} \to \IR^{m}
[/mm]
aber was ich nicht verstehe, warum ist dann es umgekehrt definiert:
h(x) = f(g(x)) ... muss es nicht umgekehrt sein?!
Danke im Voraus
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Hallo,
> g: [mm]\IR^{n} \to \IR^{p}[/mm]
> f: [mm]\IR^{p} \to \IR^{m}[/mm]
>
> h(x) = f(g(x))
>
> h: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m}[/mm]
>
> bestimmen Sie h'(x) mit der Kettenregel, indem:
>
> n=m=p=2 f(u,v) = [mm]\vektor{sin(u-v) \\ cos(u-v)}[/mm] und g(x,y) =
> [mm]\vektor{x^{2} + y^{2} \\ 2xy }[/mm]
> OK, bitte zu erst kann mir
> jemand gut diese mehrdimensionale Kettenregel erklären
> anhand des Beispiels oben ... bitte.
Es ist g(x,y) = [mm]\vektor{u(x,y) \\ v(x,y) }[/mm].
Dann haben wir also h(x,y) =f( u(x,y), v(x,y) )
Dann ergeben sich die partiellen Ableitungen zu:
[mm]\bruch{\partial h}{\partial x}\ =\ \bruch{\partial f}{\partial u}\ \bruch{\partial u}{\partial x}\ +\ \bruch{\partial f}{\partial v}\ \bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
[mm]\bruch{\partial h}{\partial y}\ =\ \bruch{\partial f}{\partial u}\ \bruch{\partial u}{\partial y}\ +\ \bruch{\partial f}{\partial v}\ \bruch{\partial v}{\partial y}[/mm]
>
> Zweitens, ich habe bemerkt, dass:
>
> g: [mm]\IR^{n} \to \IR^{p}[/mm]
> f: [mm]\IR^{p} \to \IR^{m}[/mm]
> daraus
> folgt - h: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m}[/mm]
> aber was ich nicht
> verstehe, warum ist dann es umgekehrt definiert:
>
> h(x) = f(g(x)) ... muss es nicht umgekehrt sein?!
Ja, nach den Buchstaben zu urteilen schon.
>
> Danke im Voraus
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:02 Di 29.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Zweitens, ich habe bemerkt, dass:
> >
> > g: [mm]\IR^{n} \to \IR^{p}[/mm]
> > f: [mm]\IR^{p} \to \IR^{m}[/mm]
> >
> daraus
> > folgt - h: [mm]\IR^{n} \to \IR^{m}[/mm]
> > aber was ich nicht
> > verstehe, warum ist dann es umgekehrt definiert:
> >
> > h(x) = f(g(x)) ... muss es nicht umgekehrt sein?!
>
> Ja, nach den Buchstaben zu urteilen schon.
Nein, es ist völlig richtig. g geht von [mm]\IR^{n} \to \IR^{p}[/mm], und f hat sein Argument auch aus dem [mm]\IR^{p}[/mm] und seine Werte im [mm]\IR^{m}[/mm]. x ist ein Element des [mm]\IR^{n}[/mm], und h hat seine Werte im [mm]\IR^{m}[/mm]. Stimmt.
Viele Grüße
Rainer
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Also dann passiert es in meinem Fall so:
h(x,y) = [mm] f(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}, [/mm] 2xy) = [mm] \vektor{sin(x^{2} + y^{2} - 2xy) \\ cos(x^{2} + y^{2} - 2xy)}
[/mm]
stimmt das?!
wir haben also: u = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] und v = 2xy.
[mm] \bruch{\partial h}{\partial x}\ [/mm] = [mm] \bruch{\partial f}{\partial u}\ \bruch{\partial u}{\partial x}\ [/mm] + [mm] \bruch{\partial f}{\partial v}\ \bruch{\partial v}{\partial x} [/mm]
wie berechnet man [mm] \bruch{\partial f}{\partial u}
[/mm]
wenn f ein polynom war, ok, aber f ist jetzt schon ein vektor!!!
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Hallo fittipaldi,
> Also dann passiert es in meinem Fall so:
>
> h(x,y) = [mm]f(x^{2}[/mm] + [mm]y^{2},[/mm] 2xy) = [mm]\vektor{sin(x^{2} + y^{2} - 2xy) \\ cos(x^{2} + y^{2} - 2xy)}[/mm]
>
> stimmt das?!
>
> wir haben also: u = [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] und v = 2xy.
>
> [mm]\bruch{\partial h}{\partial x}\[/mm] = [mm]\bruch{\partial f}{\partial u}\ \bruch{\partial u}{\partial x}\[/mm]
> + [mm]\bruch{\partial f}{\partial v}\ \bruch{\partial v}{\partial x}[/mm]
>
> wie berechnet man [mm]\bruch{\partial f}{\partial u}[/mm]
>
> wenn f ein polynom war, ok, aber f ist jetzt schon ein
> vektor!!!
Das gilt auch fuer Vektoren.
Da h(x,y) ein Vektor ist, sind auch [mm]\bruch{\partial h}{\partial x}[/mm] und [mm]\bruch{\partial h}{\partial y}[/mm] Vektoren.
Und einen Vektor leitet man komponentenweise ab:
[mm]f \left ( u,v \right ) = \begin{pmatrix} f_1 \left ( u, v \right ) \\ f_2 \left ( u,v \right ) \end{pmatrix}[/mm]
[mm]\bruch{\partial f \left (u,v) \right )}{\partial u} = \begin{pmatrix} \bruch{\partial f_1 \left (u,v) \right )}{\partial u} \\ \bruch{\partial f_2 \left (u,v) \right )}{\partial u}\end{pmatrix}[/mm]
Gruß
MathePower
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