Mehrdimensionale Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Mo 10.11.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^{2} \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto \begin{cases} \bruch{x^{2}+y^{2}+y^{8}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{falls (x,y) ungleich (0,0)} \\ 0, & \mbox{falls (x,y) gleich (0,0)} \end{cases}
[/mm]
In welchen Punkten ist f stetig? |
Hi!
Kann ich die Aufgabe lösen, indem ich für f(x,0) und für f(0,y) annehme?
Also quasi:
[mm] f(x,0)=\bruch{x^{2}+0+0}{x^{2}+0}
[/mm]
usw. ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mo 10.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\IR^{2} \to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto \begin{cases} \bruch{x^{2}+y^{2}+y^{8}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{falls (x,y) ungleich (0,0)} \\ 0, & \mbox{falls (x,y) gleich (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> Hi!
>
> Kann ich die Aufgabe lösen
Welche Aufgabe ?
> , indem ich für f(x,0) und für
> f(0,y) annehme?
.... ?? Was annehmen ?
>
> Also quasi:
... und nicht quasi ?
>
> [mm]f(x,0)=\bruch{x^{2}+0+0}{x^{2}+0}[/mm]
>
> usw. ?
Ich vermute, es geht um die Stetigkeit von f in (0,0).
Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist [mm] f(x,0)=\bruch{x^{2}+0+0}{x^{2}+0}=1
[/mm]
Somit ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0}f(x,0)=1 \ne [/mm] 0=f(0,0).
Und das bedeutet ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Mo 10.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Oh ja, sorry. Hatte die ganze Zeit Fehlermeldungen weil das Zeichen für ungleich nicht in die Box wollte. Ich editiere die Frage gleich noch hinterher.
Das bedeutet natürlich, dass die Funktion nicht stetig ist weil es mit (x,0) schiefgeht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Di 11.11.2014 | | Autor: | fuoor |
| Aufgabe | [mm] f:\IR^{2} \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto =\begin{cases} \bruch{x^{2}y^{2}+y^{8}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{falls } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}
[/mm]
In welchen Punkten ist f stetig? |
Hallo nochmal,
ich hatte die Funktion falsch übertragen und die ganze Zeit mit dem Fehler gearbeitet. Die Funktion ist nun korrekt und besteht nicht wie im Anfangspost nur aus der Addition der Variablen sondern aus [mm] "x^{2}y^{2}+y^{8}. [/mm]
Dadurch dürfte sich die Aufgabenstellung grundlegend verändert haben und ich bin mir nicht mehr sicher, ob ich mit der Herangehensweise
[mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x,0)=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x^{2}*0+0}{x^{2}+0}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{0}{x^{2}}=0
[/mm]
sowie
[mm] \limes_{y\rightarrow0}f(0,y)=\limes_{y\rightarrow0}\bruch{0*y^{2}+y^{8}}{0+y^{4}}=\limes_{y\rightarrow0}\bruch{y^{8}}{y^{4}}=\limes_{y\rightarrow0}y^{4}=0
[/mm]
arbeiten kann.
Muss ich die Stetigkeit nun anders nachweisen?
Vielen Dank und viele Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f:\IR^{2} \to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\mapsto =\begin{cases} \bruch{x^{2}y^{2}+y^{8}}{x^{2}+y^{4}}, & \mbox{falls } (x,y) \not= \mbox{ (0,0)} \\ 0, & \mbox{falls } (x,y) = \mbox{ (0,0)} \end{cases}[/mm]
>
> In welchen Punkten ist f stetig?
> Hallo nochmal,
>
> ich hatte die Funktion falsch übertragen und die ganze
> Zeit mit dem Fehler gearbeitet. Die Funktion ist nun
> korrekt und besteht nicht wie im Anfangspost nur aus der
> Addition der Variablen sondern aus [mm]"x^{2}y^{2}+y^{8}.[/mm]
>
> Dadurch dürfte sich die Aufgabenstellung grundlegend
> verändert haben und ich bin mir nicht mehr sicher, ob ich
> mit der Herangehensweise
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x,0)=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x^{2}*0+0}{x^{2}+0}=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{0}{x^{2}}=0[/mm]
>
> sowie
>
> [mm]\limes_{y\rightarrow0}f(0,y)=\limes_{y\rightarrow0}\bruch{0*y^{2}+y^{8}}{0+y^{4}}=\limes_{y\rightarrow0}\bruch{y^{8}}{y^{4}}=\limes_{y\rightarrow0}y^{4}=0[/mm]
>
> arbeiten kann.
Für die Stetigkeit in (0,0) reicht das nicht !
>
> Muss ich die Stetigkeit nun anders nachweisen?
Zeige: für (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0) und |y| [mm] \le [/mm] 1 ist
$0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le y^2$
[/mm]
Was folgt daraus ?
FRED
>
> Vielen Dank und viele Grüße!
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Di 11.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Kann ich nicht auch für (x,y) z.B. [mm] (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^{2}}) [/mm] annehmen? Oder wäre das nur ein Beispiel von Vielen für eine Nullfolge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Kann ich nicht auch für (x,y) z.B.
> [mm](\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^{2}})[/mm] annehmen?
Für die Stetigkeit in (0,0) reicht dies Betrachtung nicht aus.
> Oder wäre das
> nur ein Beispiel von Vielen für eine Nullfolge?
Ja.
Warum gehst Du eigentlich nicht auf das ein, was ich Dir bisher geschrieben habe ?????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 11.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Ich glaube ich habe Schwierigkeiten beim Verständnis vom abschätzen.
(x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) mit |y| [mm] \le [/mm] 1 für 0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le y^{2}.
[/mm]
Wenn f(x,y) [mm] \le y^{2} [/mm] für |y| [mm] \le [/mm] 1 (was wiederum für [mm] y^{2} [/mm] ebenso [mm] \le [/mm] 1 ist) kann ich dann schreiben
0 [mm] \le y^{2}\bruch{x^{2}+y^{6}}{x^{2}+y^{4}} \le y^{2} [/mm] ?
Geht das in die richtige Richtung? Mir ist trotzdem nicht so ganz klar welchen Schluss ich daraus ziehen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaube ich habe Schwierigkeiten beim Verständnis vom
> abschätzen.
>
> (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) mit |y| [mm]\le[/mm] 1 für 0 [mm]\le[/mm] f(x,y) [mm]\le y^{2}.[/mm]
>
> Wenn f(x,y) [mm]\le y^{2}[/mm] für |y| [mm]\le[/mm] 1 (was wiederum für
> [mm]y^{2}[/mm] ebenso [mm]\le[/mm] 1 ist) kann ich dann schreiben
>
> 0 [mm]\le y^{2}\bruch{x^{2}+y^{6}}{x^{2}+y^{4}} \le y^{2}[/mm] ?
Das ist doch nichts anderes, als das was ich oben geschrieben habe !!!!
Zeige es !!!!
>
> Geht das in die richtige Richtung? Mir ist trotzdem nicht
> so ganz klar welchen Schluss ich daraus ziehen soll.
Das hab ich Dir auch schon mal gesagt ! Du bist wirklich beratungsresistent !
Aus 0 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le y^2 [/mm] für |y| [mm] \le [/mm] 1 folgt
(*) [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)
[/mm]
Denn [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}=0 [/mm] und [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}y^2.
[/mm]
Nach dem Satz von Hedwig Sandwich ergibt sich (*)
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Ich glaube ich habe Schwierigkeiten beim Verständnis vom
> > abschätzen.
> >
> > (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) mit |y| [mm]\le[/mm] 1 für 0 [mm]\le[/mm] f(x,y) [mm]\le y^{2}.[/mm]
>
> >
> > Wenn f(x,y) [mm]\le y^{2}[/mm] für |y| [mm]\le[/mm] 1 (was wiederum für
> > [mm]y^{2}[/mm] ebenso [mm]\le[/mm] 1 ist) kann ich dann schreiben
> >
> > 0 [mm]\le y^{2}\bruch{x^{2}+y^{6}}{x^{2}+y^{4}} \le y^{2}[/mm] ?
>
> Das ist doch nichts anderes, als das was ich oben
> geschrieben habe !!!!
>
> Zeige es !!!!
>
>
> >
> > Geht das in die richtige Richtung? Mir ist trotzdem nicht
> > so ganz klar welchen Schluss ich daraus ziehen soll.
>
>
> Das hab ich Dir auch schon mal gesagt ! Du bist wirklich
> beratungsresistent !
>
> Aus 0 [mm]\le[/mm] f(x,y) [mm]\le y^2[/mm] für |y| [mm]\le[/mm] 1 folgt
>
> (*) [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)[/mm]
>
> Denn [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}=0[/mm] und [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}y^2.[/mm]
>
> Nach dem Satz von Hedwig Sandwich ergibt sich (*)
war das nicht der Satz von Pizza Peperoni-Wurst?
Mathe macht Hunger...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Di 11.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > Ich glaube ich habe Schwierigkeiten beim Verständnis vom
> > > abschätzen.
> > >
> > > (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) mit |y| [mm]\le[/mm] 1 für 0 [mm]\le[/mm] f(x,y) [mm]\le y^{2}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wenn f(x,y) [mm]\le y^{2}[/mm] für |y| [mm]\le[/mm] 1 (was wiederum für
> > > [mm]y^{2}[/mm] ebenso [mm]\le[/mm] 1 ist) kann ich dann schreiben
> > >
> > > 0 [mm]\le y^{2}\bruch{x^{2}+y^{6}}{x^{2}+y^{4}} \le y^{2}[/mm] ?
> >
> > Das ist doch nichts anderes, als das was ich oben
> > geschrieben habe !!!!
> >
> > Zeige es !!!!
> >
> >
> > >
> > > Geht das in die richtige Richtung? Mir ist trotzdem nicht
> > > so ganz klar welchen Schluss ich daraus ziehen soll.
> >
> >
> > Das hab ich Dir auch schon mal gesagt ! Du bist wirklich
> > beratungsresistent !
> >
> > Aus 0 [mm]\le[/mm] f(x,y) [mm]\le y^2[/mm] für |y| [mm]\le[/mm] 1 folgt
> >
> > (*) [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)[/mm]
> >
> > Denn [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}=0[/mm] und [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}y^2.[/mm]
>
> >
> > Nach dem Satz von Hedwig Sandwich ergibt sich (*)
>
> war das nicht der Satz von Pizza Peperoni-Wurst?
Ne, das war der Satz von Donald,Würger, Brecher und Burger.
>
> Mathe macht Hunger...
Jetzt auch noch ?
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Di 11.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich glaube ich habe Schwierigkeiten beim Verständnis vom
> abschätzen.
>
> (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) mit |y| [mm]\le[/mm] 1 für 0 [mm]\le[/mm] f(x,y) [mm]\le y^{2}.[/mm]
>
> Wenn f(x,y) [mm]\le y^{2}[/mm] für |y| [mm]\le[/mm] 1 (was wiederum für
> [mm]y^{2}[/mm] ebenso [mm]\le[/mm] 1 ist) kann ich dann schreiben
>
> 0 [mm]\le y^{2}\bruch{x^{2}+y^{6}}{x^{2}+y^{4}} \le y^{2}[/mm] ?
1. Begründen: Warum ist
$0 [mm] \le \bruch{x^{2}+y^{6}}{x^{2}+y^{4}} \le [/mm] 1$?
> Geht das in die richtige Richtung? Mir ist trotzdem nicht
> so ganz klar welchen Schluss ich daraus ziehen soll.
2. Beachte: $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ (d.h. [mm] $\|(x,y)-(0,0)\|_2=\|(x,y)\|_2 \to [/mm] 0$) liefert insbesondere
$x [mm] \to [/mm] 0$ und $y [mm] \to [/mm] 0$ (letztstehendes in [mm] $(\IR,d_{|.|})$).
[/mm]
Damit folgt also
$|f(x,y)-f(0,0)|=|...| [mm] \to [/mm] ...$ bei $(x,y) [mm] \to [/mm] (0,0)$ (d.h. [mm] $\|(x,y)\|_2 \to [/mm] 0$, s.o.!)
Gruß,
Marcel
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> Kann ich nicht auch für (x,y) z.B.
> [mm](\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^{2}})[/mm] annehmen? Oder wäre das
> nur ein Beispiel von Vielen für eine Nullfolge?
Ein einzelnes Beispiel wie dieses könnte allenfalls als
Gegenbeispiel dienen, also um zu zeigen, dass die
Funktion an der untersuchten Stelle nicht stetig ist.
Für einen Beweis der Stetigkeit bringen aber Einzel-
beispiele nichts. Da muss man allgemein argumentieren.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Di 11.11.2014 | | Autor: | fuoor |
Das ist mir Gott sei dank mittlerweile klar. Mir bereitet aber genau das Allgemeine eher Schwierigkeiten als ein Gegenbeispiel zu finden. Ich denke mal ein Beweis ist immer schwieriger zu finden als ein Gegenbeispiel. Vor allem habe ich mit dem Abschätzen meine Probleme. Da hat es einfach noch nicht "Klick" gemacht....
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