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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Do 24.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Es ist [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ [/mm] eine stetig differenzierbare Abbildung mit [mm] ||grad\, f(x)||\leq [/mm] 1 für alle [mm] $x\in\mathbb{R}$.
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] $|f(x)-f(y)|\leq [/mm] ||x-y||$ für alle [mm] $x,y\in\mathbb{R}^n$ [/mm] |
Hi,
kann man den Mittelwertsatz im eindimensionalem Fall auf den mehrdimensionalen übertragen?
Ich könnte mir vorstellen, dass dies zur Lösung dieser Aufgabe beitragen könnte.
Obiges würde ja bedeuten, dass die Funktion Lipschitz-stetig ist mit L=1.
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Hallo YuSul,
> Es ist [mm]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/mm] eine stetig
> differenzierbare Abbildung mit [mm]||grad\, f(x)||\leq[/mm] 1 für
> alle [mm]x\in\mathbb{R}[/mm].
>
> Zeigen Sie:
>
> [mm]|f(x)-f(y)|\leq ||x-y||[/mm] für alle [mm]x,y\in\mathbb{R}^n[/mm]
> Hi,
>
> kann man den Mittelwertsatz im eindimensionalem Fall auf
> den mehrdimensionalen übertragen?
Ja.
> Ich könnte mir vorstellen, dass dies zur Lösung dieser
> Aufgabe beitragen könnte.
>
> Obiges würde ja bedeuten, dass die Funktion
> Lipschitz-stetig ist mit L=1.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Do 24.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Okay, wenn ich dann die Funktion dann auf ein Intervall [x,y] einschränke, dann gibt es mindestens ein [mm] $\xi$ [/mm] so, dass gilt
[mm] f'(\xi)=\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$
[/mm]
[mm] $x,y,\xi\in\mathbb{R}^n$
[/mm]
Dann ist
[mm] 1\geq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} [/mm] also
[mm] |x-y|\geq [/mm] |f(x)-f(y)|
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Hallo YuSul,
> Okay, wenn ich dann die Funktion dann auf ein Intervall
> [x,y] einschränke, dann gibt es mindestens ein [mm]\xi[/mm] so,
> dass gilt
>
> [mm]f'(\xi)=\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$[/mm]
>
> [mm]x,y,\xi\in\mathbb{R}^n[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]1\geq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}[/mm] also
>
> [mm]|x-y|\geq[/mm] |f(x)-f(y)|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Do 24.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Das war echt alles? :)
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Hallo YuSul,
> Das war echt alles? :)
Ja, sofern sich der Aufgabensteller damit zufrieden gibt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Do 24.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Mich macht es nur etwas stutzig, da es eine alte Klausuraufgabe war und es dafür 8 Punkte gibt, wobei das in 3 Minuten erledigt ist...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Fr 25.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay, wenn ich dann die Funktion dann auf ein Intervall
> [x,y] einschränke, dann gibt es mindestens ein [mm]\xi[/mm] so,
> dass gilt
>
> [mm]f'(\xi)=\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}$[/mm]
Das ist doch Unfug !!! Links steht ein Element [mm] \in \IR^n [/mm] und rechts steht ein Element [mm] \in \IR [/mm] !! ???
Der MWS im mehrdimensionalen lautet so:
Sei D [mm] \subseteq \IR^n [/mm] offen und sei f:D [mm] \to \IR [/mm] auf D differenzierbar. Sind nun a,b [mm] \in [/mm] D und liegt die Verbindungsstrecke S von a und b ganz in D, so ex. ein [mm] \xi \in [/mm] S mit:
[mm] f(b)-f(a)=gradf(\xi)*(b-a).
[/mm]
Es folgt mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:
$|f(b)-f(a)| [mm] \le ||gradf(\xi)||*||(b-a)||.$
[/mm]
FRED
>
> [mm]x,y,\xi\in\mathbb{R}^n[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]1\geq \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|}[/mm] also
>
> [mm]|x-y|\geq[/mm] |f(x)-f(y)|
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