Mehrdimensionales Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:18 Mo 08.02.2010 | | Autor: | Sacha |
| Aufgabe | | Berechne [mm] \integral_{\IR^{n}}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x} [/mm] |
Kann mir jemand einen Tipp geben, welchen Weg ich einschlagen muss, damit ich dieses Intgegral berechnen kann?
Zu meinem Background ist Analysis III vorhanden, also Integrationstheorie in [mm] \IR^{n}.
[/mm]
Danke schon im voraus für eure Mühe!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Mo 08.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechne [mm]\integral_{\IR^{n}}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x}[/mm]
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben, welchen Weg ich
> einschlagen muss, damit ich dieses Intgegral berechnen
> kann?
> Zu meinem Background ist Analysis III vorhanden, also
> Integrationstheorie in [mm]\IR^{n}.[/mm]
Das ist gut. Sei R >0 und [mm] K_R [/mm] die Kugel um 0 mit Radius R. Sei weiter
$ [mm] \omega_n [/mm] = n*$Volumen der Einheits kugel im [mm] \IR^n,
[/mm]
also
[mm] $\omega_n [/mm] = [mm] \bruch{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}$,
[/mm]
wobei [mm] \Gamma [/mm] die Gamma-Funktion bez.
Mit Polarkoordinaten (im [mm] \IR^n) [/mm] siehst Du:
$ [mm] \integral_{K_R}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x}= \omega_n* \integral_{0}^{R}{r^{n-1}e^{-r}dr}$.
[/mm]
Dann ist
$ [mm] \integral_{\IR^{n}}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x}= \limes_{R\rightarrow\infty} \integral_{K_R}^{}{e^{-\parallel x \parallel} d^{n}x}$
[/mm]
FRED
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> Danke schon im voraus für eure Mühe!!
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