Mehrdimensionales Taylorpolyn. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich hab folgende Funktion gegeben [mm] f(x,y)=y^2+xy+x-y+17 [/mm] und soll nun das Taylorpolynom im Punkt P (1,2) berechnen.Daraus soll ich mir die Gleichung für die Tangentialebene im Punkt P herauslesen und den Normalvektor der Ebene angeben.
Das Taylorpolynom sollte sein [mm] T_2= 22+3(x-1)+4(x-2)+1(2(x-1)(y-2))+2(y-2)^2
[/mm]
Aber wie bekomme ich nun die Tangentialebene bzw dessen Normalvektor??
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Die Tangentialebene berechnest du ganz einfach mit f(x,y). Die Formel sollte dir bekannt sein.
Tangentialebene
[mm] z-z_0=\bruch{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\bruch{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0)
[/mm]
Daraus ergibt sich dann ja auch der Normalenvektor.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
für diesen Audruck [mm] z-z_0=\bruch{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\bruch{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0) [/mm] würde ich auf 1(x-1)+3(y-2) kommen?
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Ich fürchte nein.
Bilde die partiellen Ableitungen, setze den Punkt (1,2) ein und berechne auch noch [mm] z_0.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
fx(x,y)=y+1 fy(x,y)=2y+x-1 [mm] df=\bruch{y+1+2y+x-1}{dx}(x-1)+\bruch{y+1+2y+x-1}{dy}(y-2) [/mm] =1(x-1)+3(y-2)
Das müsste doch nach deiner Formel stimmen
Aber es steht auch das man es auch aus der Taylorformel herauslesen kann,dann bräuchte ich ja die zusätzliche berechnung nicht oder?
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> [mm] f_x(x,y)=y+1 [/mm] ; [mm] f_y(x,y)=2y+x-1 [/mm]
> [mm]df=\bruch{y+1+2y+x-1}{dx}(x-1)+\bruch{y+1+2y+x-1}{dy}(y-2)[/mm]
> =1(x-1)+3(y-2)
=> [mm] f_x(1,2)=3 [/mm] ; [mm] f_y(1,2)=4 [/mm] ; [mm] z_0=f(1,2)=22
[/mm]
Eingesetzt in
$ [mm] z-z_0=\bruch{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\bruch{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}(y-y_0) [/mm] $ liefert
$ z-22=3(x-1)+4(y-2) $
>
>
> Das müsste doch nach deiner Formel stimmen
>
> Aber es steht auch das man es auch aus der Taylorformel
> herauslesen kann,dann bräuchte ich ja die zusätzliche
> berechnung nicht oder?
Kommt dir obiges bekannt vor?
Normalenvektor: du kannst alles ausrechnen, und dann hast du eine ganz normale Ebenengleichung.
Also: $ -22+3+8=3x+4y-z $
Normalenvektor ist demnach was?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 13.05.2012 | | Autor: | racy90 |
Normalvektor müsste sein : (3,4,-1) oder?
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