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| Aufgabe | Gleichungen:
[mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0
- [mm] x_{2} [/mm] - 3 [mm] x_{3} [/mm] - 5 [mm] x_{4} [/mm] = 5
10 [mm] x_{3} [/mm] + 15 [mm] x_{4} [/mm] = -25
[mm] (1+\gamma) x_{4} [/mm] = 0
Bestimmen Sie die Werte von [mm] \gamma [/mm] so, dass dieses Gleichungssystem ggfs. keine Lösung, genau eine, mehr als eine Lösung hat und geben Sie die Lösungsmenge an. |
Könnte mir jemand den Ansatz erklären,
muss ich nun [mm] x_{4} [/mm] = 1 + [mm] \gamma [/mm] und in die anderen einsetzen?
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> Gleichungen:
> [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 0
> - [mm]x_{2}[/mm] - 3 [mm]x_{3}[/mm] - 5 [mm]x_{4}[/mm] = 5
> 10 [mm]x_{3}[/mm] + 15 [mm]x_{4}[/mm] = -25
> [mm](1+\gamma) x_{4}[/mm]
> = 0
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> Bestimmen Sie die Werte von [mm]\gamma[/mm] so, dass dieses
> Gleichungssystem ggfs. keine Lösung, genau eine, mehr als
> eine Lösung hat und geben Sie die Lösungsmenge an.
> Könnte mir jemand den Ansatz erklären,
> muss ich nun [mm]x_{4}[/mm] = 1 + [mm]\gamma[/mm] und in die anderen
> einsetzen?
Hallo,
die Art der Lösungsmenge liest man aus der Zeilenstufenform der erweiterten Koeffizientenmatrix ab, welche hier lautet
[mm] \pmat{1&-1 &1&0&&|0\\0&-1 &-3&0-5&&|5\\0&0 &10&15&&|-25\\0&0&0&1+\gamma&&|0}.
[/mm]
Ist der Rang der Koeffizientenmatrix kleiner als der der erweiterten (also mit der Spalte rechts), dann hat das System keine Lösung.
genau eine Lösung hat das System, wenn der Rang der Matrix =4 ist, also = der Anzahl der Spalten, und Du mußt Dir überlegen, für welches [mm] \gamma [/mm] das der fall ist.
Mehr als eine Lösung hat man, wenn der Rang <4 ist.
Gruß v. Angela
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