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Hi!
So....Heute die Klausur in LinAlg geschrieben und versuch jetzt grad so ein bisschen meine Lösungen zu verifizieren :( (war nämlich allgemein nicht so gut), deswegen frag ich mal ein paar kurze Sachen:
1.) Wir hatten 4 Vektoren gegeben und 4 weitere Vektoren. Die einen 4 Vektoren waren die anderen 4 transponiert. Die Frage war: Zeige, dass die ersten 4 Vektoren genau dann l.unabhängig sind, wenn die die zweiten 4 Vektoren l.u. sind.
Da hab ich gesagt: Rg(A) = [mm] Rg(A^t) [/mm] => Wenn Rg(A) = 4 = [mm] Rg(A^t) [/mm] => Die Vektoren aus [mm] A^t [/mm] sind l.u. Wenn Rg(A)<4 => [mm] Rg(A^t)<4 [/mm] => Die Vektoren aus [mm] A^t [/mm] sind l.a.
2.) Wenn die Vektoren v1...vn paarweise lineare unabhängig sind. Sind sie dann alle linear unabhängig?
Da hab ich gesagt, dass linear unabhängig bedeutet, dass in n1v1 + ... nnvn = 0, alle Koeffizienten n 0 sein müssen, damit v1...vn linear unabhängig sind. Wenn die Vektoren nur paarweise lineare unabhängig sind muss dies nicht der Fall sein.
3.) [mm] A^2 [/mm] = E => A = E
Ja, das ist ziemliche scheisse. Das war Multiple Choice und ich hab überlegt und überlegt und hab mir gedacht, das neutrale Element bzgl. der Multiplikation im R ist 1. Das inverse Element bzgl. der Multiplikation im [mm] R^n [/mm] ist [mm] E^n. [/mm] Also hab ich gesagt ja. Aber es wäre ja auch -1 im R eine Lösung...also dann wohl auch -E und -E.
4.) Rg(AB)<Rg(B) wenn 4x4 Matrizen sind.
Falsch.
5.) det(nA) = n*det(A) wenn n aus R und A eine 4x4 Matrix.
Dann gabs noch irgendwas mit det(nA) = [mm] (det(A))^n [/mm] glaub ich. Da hab ich gesagt es sei falsch.
6.) Axb = inhomogenes Gleichungssystem.
Wenn b = 0 => L(A|b) Vektorraum.
Wenn b = 0 ist es ein homogenes GLS und dabei gilt dass die Lösungen addiert und mit einem Skalar multipliziert werden können und immer noch Lösungen sind. Und das ist ja die Def. von einem VR ?!
7.) Axb = inhomogenes Gleichungssystem
b = 0 => L(A|b) =! 0
Der Nullvektor ist immer eine Lösung im homogenen GLS. Also ist die Aussage falsch.
8.) Rangkriterium zur Lösbarkeit eines inhomogenen GLS:
Wenn der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b) > ist als der Rg(A), so ist das GLS nicht lösbar. Andernfalls ist es lösbar.
9.) Was kleines zum Basiswechsel. Da waren die zwei Basisvektoren der Basis b gegeben. b1 war [mm] 1/(2^0,5) [/mm] * (e1 + e2) und b2 war [mm] 1/(2^0,5)*(-e1 [/mm] + e2). Das ist schon so zu interpretieren, dass b1
halt [mm] 1/(2^0,5)*(1, [/mm] 1, 0) ist (und dann halt [mm] (1/(2^0,5), 1/(2^0,5), [/mm] 0)), oder?
10.) Wenn man drei Vektoren zu einer Basis zum [mm] R^4 [/mm] vervollständigen soll und der 4. Vektor orthogonal zu allen anderen stehen soll, dann stimmt doch dieser Ansatz:
<a1, x> = 0
<a2, x> = 0
<a3, x> = 0
daraus folgt ein Gleichungssystem dass man lösen kann.
Damit ist er auch l.unabhängig zu den anderen, wenn er senkrecht ist, oder?
okay, das wars fürs erste, an mehr kann ich mich nicht mehr erinnern :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 So 20.01.2008 | | Autor: | Hing |
hi, ich schätze das der grund weshalb dir niemand antwortet der ist, dass du ein wenig "kompliziert" und lang geschrieben hast.
vielleicht solltest du das ganze nochmal überarbeiten und auf wesentliche fragen beschränken.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 So 20.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi!
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> So....Heute die Klausur in LinAlg geschrieben und versuch
> jetzt grad so ein bisschen meine Lösungen zu verifizieren
> :( (war nämlich allgemein nicht so gut), deswegen frag ich
> mal ein paar kurze Sachen:
>
> 1.) Wir hatten 4 Vektoren gegeben und 4 weitere Vektoren.
> Die einen 4 Vektoren waren die anderen 4 transponiert. Die
> Frage war: Zeige, dass die ersten 4 Vektoren genau dann
> l.unabhängig sind, wenn die die zweiten 4 Vektoren l.u.
> sind.
>
> Da hab ich gesagt: Rg(A) = [mm]Rg(A^t)[/mm] => Wenn Rg(A) = 4 =
> [mm]Rg(A^t)[/mm] => Die Vektoren aus [mm]A^t[/mm] sind l.u. Wenn Rg(A)<4 =>
> [mm]Rg(A^t)<4[/mm] => Die Vektoren aus [mm]A^t[/mm] sind l.a.
ja, also generell ist Dein Lösungsweg sicherlich richtig, wenn die Aussage [mm] $\Rg(A)=\Rg(A^t)$ [/mm] benutzt werden darf. Was mir didaktisch nicht so gut gefällt, ist die Beweisstruktur:
[mm] "$\Rightarrow$": [/mm] Seien die 4 Vektoren linear unabhg. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es gilt für den Rang von ...
und vll. hättest Du schreiben sollen, dass Du die Richtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] per Kontraposition beweist. Aber Du hast das zum einen hier nur sehr knapp geschrieben, also in der Klausur vermutlich ausführlicher, zum anderen ist gibt's bei Deinem Beweis eigentlich nix zu bemängeln...
> 2.) Wenn die Vektoren v1...vn paarweise lineare unabhängig
> sind. Sind sie dann alle linear unabhängig?
>
> Da hab ich gesagt, dass linear unabhängig bedeutet, dass in
> n1v1 + ... nnvn = 0, alle Koeffizienten n 0 sein müssen,
> damit v1...vn linear unabhängig sind. Wenn die Vektoren nur
> paarweise lineare unabhängig sind muss dies nicht der Fall
> sein.
Also da kann man Dich ein wenig kritisieren. Logisch ist Deine Aussage vollkommen korrekt und die Antwort ist ja auch richtig, aber wenn man eine Aussage widerlegt: Gegenbeispiel.
Die Vektoren [mm] $(0,1)^t, (1,0)^t, (1,1^t) \in \IR^2$ [/mm] würden sowas z.B. zeigen.
> 3.) [mm]A^2[/mm] = E => A = E
>
> Ja, das ist ziemliche scheisse. Das war Multiple Choice und
> ich hab überlegt und überlegt und hab mir gedacht, das
> neutrale Element bzgl. der Multiplikation im R ist 1. Das
> inverse Element bzgl. der Multiplikation im [mm]R^n[/mm] ist [mm]E^n.[/mm]
> Also hab ich gesagt ja. Aber es wäre ja auch -1 im R eine
> Lösung...also dann wohl auch -E und -E.
Genau, da ist Deine Antwort falsch, ein mögliches Gegenbeispiel hast Du mit $-E$ selber geschrieben...
> 4.) Rg(AB)<Rg(B) wenn 4x4 Matrizen sind.
>
> Falsch.
Auch hier wäre es sinnvoll, die Aussage explizit "gegenzubeweisen". Mit $A=E$ würde in obiger Gleichung [mm] $\Rg(B) [/mm] < [mm] \Rg(B)$ [/mm] folgen, ein offensichtlicher Widerspruch.
> 5.) det(nA) = n*det(A) wenn n aus R und A eine 4x4 Matrix.
> Dann gabs noch irgendwas mit det(nA) = $ [mm] (det(A))^n [/mm] $ glaub ich. Da
> hab ich gesagt es sei falsch.
Auch hier hast Du Recht, diese Aussage ist falsch. Allerdings ist Deine "Formel" [mm] $=(det(A))^n$ [/mm] auch sehr aus der Luft und danebengegriffen. Determinanten sind multilinear, also linear in jeder Spalte. Bei $n*A$ wird jede Spalte mit n multipliziert, jetzt kannst Du nach und nach "das n vor die Det" ziehen und erhälst damit dann eher [mm] "$n^n *\det(A)$".
[/mm]
Als Beispiel kannst Du Dir das an [mm] $E_3$ [/mm] klarmachen:
[mm] $\det\left(\pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 3 }\right)=3*\det\left(\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0\\0 & 0 & 3 }\right)$
[/mm]
[mm] $=3*3*\det\left(\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 3 }\right)=3^3*\det\left(\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 }\right)$
[/mm]
Also ich würde Dir empfehlen, Dich noch mal mit den Eigenschaften von Determinanten(funktionen) zu befassen. Auch wenn Du die Frage mit der Antwort, dass [mm] $\det(n*A)=n*\det(A)$ [/mm] i.a. falsch ist, richtig beantwortet hast, solltest Du in der Lage sein, diese Formel zu korrigieren.
P.S.:
Was Du bei Frage 6 überhaupt meinst (und auch bei 7), verstehe ich gerade nicht. Was ist da die Behauptung?
Und die restlichen Fragen kann auch gerne jemand anderes beantworten 
Gruß,
Marcel
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