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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Sa 04.07.2009 | | Autor: | rennreh |
| Aufgabe | | Durch [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 4 und [mm] x^2+y2 [/mm] = 1 wird ein Kreisring beschrieben. Durch die beiden geraden y = x und [mm] y=\wurzel{3}x [/mm] wird ein Sektor B im 1.Quadranten ausgeschnitten. Wie groß ist die die Fläche des Sektors? |
Ich finde zu dieser Aufgabe leider den richtigen Ansatz nicht. Mir ist klar das sich die umrechnung zu den Polarkoordinaten anbietet.
Kann mir bitte jemand den Ansatz erklären, wie man die Polarform kommt ?
ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Sa 04.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier kannst du ![[]](/images/popup.gif) die Umrechnung nachlesen.
Bestimme also zuerst die Schnittpunkte der beiden Geraden mit den Kreisen, und wandle diese dann in Polarkoordinaten um (den Radius hast du ja jeweils schon).
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 04.07.2009 | | Autor: | rennreh |
Danke für die schnelle Antowort :)
Kannst du mal bitte Überprüfen ob meine Überlegung richtig sein kann ?
mfg:)
Die ansteige der geraden sind:
[mm] m_{1} [/mm] = 1 und [mm] m_{2} [/mm] = [mm] \Wurzel [/mm] {3}
mit der Beziehung m = [mm] \Bruch {\Delta y} {\Delta x}
[/mm]
und die Kreisformel [mm] r^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
kann man durch einsetzen:
[mm] r^2 [/mm] = [mm] y^2m^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = [mm] y^2(m^2 [/mm] + 1)
mit umstellen nach y -> [mm] y^2 [/mm] = [mm] \Bruch {r^2}{m^2 + 1}
[/mm]
und für x -> x = m * y
erhalte ich [mm] y_{1} [/mm] = 1,41 [mm] x_{1} [/mm] = 1,41 -> [mm] \alpha_{1} [/mm] = [mm] tan(\Bruch{y}{x}) [/mm] = 0,79
und
[mm] y_{2} [/mm] = 0,61 [mm] x_{2} [/mm] = 0,35 -> [mm] \alpha_{2} [/mm] = [mm] tan(\Bruch{y}{x}) [/mm] = 1,05
nun Das Integral:
[mm] \integral_{\alpha = 0,79}^{1}{\integral_{r = 1}^{2}{r dr} d\alpha} [/mm] = 0,39FE
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> Danke für die schnelle Antowort :)
> Kannst du mal bitte Überprüfen ob meine Überlegung
> richtig sein kann ?
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> mfg:)
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> Die ansteige der geraden sind:
> [mm]m_{1}[/mm] = 1 und [mm]m_{2}[/mm] = [mm]\Wurzel[/mm] {3}
>
> mit der Beziehung m = [mm]\Bruch {\Delta y} {\Delta x}[/mm]
> und die
> Kreisformel [mm]r^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
> kann man durch einsetzen:
>
> [mm]r^2[/mm] = [mm]y^2m^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = [mm]y^2(m^2[/mm] + 1)
>
> mit umstellen nach y -> [mm]y^2[/mm] = [mm]\Bruch {r^2}{m^2 + 1}[/mm]
> und
> für x -> x = m * y
>
> erhalte ich [mm]y_{1}[/mm] = 1,41 [mm]x_{1}[/mm] = 1,41 -> [mm]\alpha_{1}[/mm] =
> [mm]tan(\Bruch{y}{x})[/mm] = 0,79
>
> und
> [mm]y_{2}[/mm] = 0,61 [mm]x_{2}[/mm] = 0,35 -> [mm]\alpha_{2}[/mm] =
> [mm]tan(\Bruch{y}{x})[/mm] = 1,05
>
>
> nun Das Integral:
>
> [mm]\integral_{\alpha = 0,79}^{1}{\integral_{r = 1}^{2}{r dr} d\alpha}[/mm]
> = 0,39FE
mh die ringe sind ja erstmal ohne bedeutung, da du ja erstmal die winkel wissen willst.
1.) y=x
in polar: [mm] r*sin\phi=r*cos\phi \Rightarrow sin\phi=cos\phi \Rightarrow tan\phi=1 \Rightarrow \phi=arctan(1) [/mm] = [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] = untere grenze
2.) [mm] y=\sqrt{3}*x
[/mm]
[mm] \Rightarrow r*sin\phi=\sqrt{3}*r*cos\phi \Rightarrow tan\phi= \sqrt{3} \Rightarrow \phi=\frac{\pi}{3} [/mm] = obere grenze
so nun die beiden funktionen: äusserer Kreis: [mm] r(\phi)=2
[/mm]
innerer [mm] Kreis=r(\phi)=1
[/mm]
Fläche in Polarkoordinaten:
[mm] A=\frac{1}{2}*\integral_{\phi_a}^{\phi_b}{r^2(\phi) d\phi}
[/mm]
der Sektor sollte dann [mm] A=A_{aussen}-A_{innen} [/mm] sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Sa 04.07.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Durch [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] = 4 und [mm]x^2+y2[/mm] = 1 wird ein Kreisring
> beschrieben. Durch die beiden geraden y = x und
> [mm]y=\wurzel{3}x[/mm] wird ein Sektor B im 1.Quadranten
> ausgeschnitten. Wie groß ist die die Fläche des Sektors?
> Ich finde zu dieser Aufgabe leider den richtigen Ansatz
> nicht. Mir ist klar das sich die umrechnung zu den
> Polarkoordinaten anbietet.
> Kann mir bitte jemand den Ansatz erklären, wie man die
> Polarform kommt ?
>
>
> ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
mh, in mehrfachintegralen sind wir auch grad dran, aber m.E. reicht doch hier eine Subtraktion von 2 Polarkoordinaten-Integralen oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Sa 04.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
> mh, in mehrfachintegralen sind wir auch grad dran, aber
> m.E. reicht doch hier eine Subtraktion von 2
> Polarkoordinaten-Integralen oder?
Yep, das reicht hier tatsächlich aus.
Marius
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