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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Do 15.11.2012 | | Autor: | quasimo |
| Aufgabe | Für alle n [mm] \in \IN [/mm] berechne man
[mm] \int_{[0,\pi]^n} sin(\sum_{j=1}^n x_j [/mm] ) [mm] d(x_1 [/mm] ,.., [mm] x_n) [/mm] |
Ja Mehrfachintegrale sind nicht meine Stärke, deshalb muss das Forum her^^
für n=1
[mm] \int_0^\pi sin(x_1) [/mm] d [mm] x_1 [/mm] = 2
für n=2
[mm] \int_0^\pi \int_0^\pi sin(x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] ) d [mm] x_1 [/mm] d [mm] x_2 [/mm] = 0
Große Frage, wie sieht das allgemein aus
[mm] \int_{[0,\pi]^n} sin(\sum_{j=1}^n x_j [/mm] ) [mm] d(x_1 [/mm] ,.., [mm] x_n) [/mm] = [mm] \int_0^\pi [/mm] .. [mm] \int_0^\pi sin(x_1 [/mm] +.. + [mm] x_n) dx_1 dx_2 [/mm] .. [mm] dx_n
[/mm]
Die Additionstheoreme sind sicher wichtig
[mm] sin(x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] ) = sin [mm] x_1 [/mm] cos [mm] x_2 [/mm] + sin [mm] x_2 [/mm] cos [mm] x_1 [/mm]
Aber ich krieg das nicht auf die Reihe...
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Hallo quasimo,
> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] berechne man
> [mm]\int_{[0,\pi]^n} sin(\sum_{j=1}^n x_j[/mm] ) [mm]d(x_1[/mm] ,.., [mm]x_n)[/mm]
> Ja Mehrfachintegrale sind nicht meine Stärke, deshalb
> muss das Forum her^^
>
> für n=1
> [mm]\int_0^\pi sin(x_1)[/mm] d [mm]x_1[/mm] = 2
>
> für n=2
> [mm]\int_0^\pi \int_0^\pi sin(x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] ) d [mm]x_1[/mm] d [mm]x_2[/mm] = 0
>
> Große Frage, wie sieht das allgemein aus
> [mm]\int_{[0,\pi]^n} sin(\sum_{j=1}^n x_j[/mm] ) [mm]d(x_1[/mm] ,.., [mm]x_n)[/mm] =
> [mm]\int_0^\pi[/mm] .. [mm]\int_0^\pi sin(x_1[/mm] +.. + [mm]x_n) dx_1 dx_2[/mm] ..
> [mm]dx_n[/mm]
>
> Die Additionstheoreme sind sicher wichtig
> [mm]sin(x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm] ) = sin [mm]x_1[/mm] cos [mm]x_2[/mm] + sin [mm]x_2[/mm] cos [mm]x_1[/mm]
Ja, aber auch das Additionstheorem für den Cosinus.
> Aber ich krieg das nicht auf die Reihe...
Zerlege den Integranden wie folgt:
[mm]\left(1\right) \ \sin\left(\sum_{j=1}^{n}x_{j}\right)=\sin\left(x_{1}+\sum_{j=2}^{n}x_{j}\right)[/mm]
Diesen integrierst Du zunächst nach [mm]x_{1}[/mm],
dann wendest Du auf den entstehenden Ausdruck das
entsprechende Additionstheorem an bevor Du schließlich
die Grenzen einsetzt.
Der nächste Schritt läuft genauso ab.
- zerlege den entstehenden Ausdruck gemäß (1)
- integriere diesen Ausdruck
- wende das entsprechende Additionstheorem an
Und das machst Du solange, bis Du ein Bildungsgesetz erkennst.,
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 15.11.2012 | | Autor: | quasimo |
[mm] {\int_0^\pi .. \int_0^\pi sin(x_1) cos(x_2 +..+x_n) + sin(x_2+..x_n) cos (x_1) dx_1 dx_2.. dx_n =
\int_0^\pi .. \int_0^\pi 2 cos (x_2 +..+x_n) dx_2 .. dx_n =
2 * \int_0^\pi.. \int_0^\pi cos(x_2) cos(x_3 +..+x_n) - sin (x_2) cos(x_3 +..+x_n) d x_2 .. dx_n =
2 * \int_0^\pi .. \int_0^\pi - 2 cos (x_3 +..+x_n) d x_3 ... dx_n}
[/mm]
=
2* (-2) * [mm] \int_0^\pi [/mm] .. [mm] \int_0^\pi [/mm] cos [mm] (x_3)*cos(x_4 [/mm] +.. [mm] +x_n) [/mm] - [mm] sin(x_3) [/mm] * [mm] sin(x_4 +..+x_n) [/mm] d [mm] x_3 [/mm] ... [mm] dx_n
[/mm]
=
2* (-2) * [mm] \int_0^\pi [/mm] .. [mm] \int_0^\pi [/mm] (-2) sin [mm] (x_4 +..x_n) [/mm] d [mm] x_4 [/mm] ... [mm] dx_n
[/mm]
Die zweier sind schon verdächtig aber so wirklich die regel weiß ich nicht..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Fr 16.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Rechne die Fälle n=1, n=2, n=3 mal konkret aus.
Vielleicht bekommst Du dann eine Vermutung, die Du induktiv beweisen kannst.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 18.11.2012 | | Autor: | quasimo |
Hallo das habe ich schon gemacht, siehe bitte ersten Post.
Außer für n=3 das ist die Lösung -8. Aber sonst siehe erste Post.
Bevor ich an Induktion denken kann brauche ich die richtige Formel . Und da habe ich Mathe Power´s Rat befolgt. (siehe letzte Post)
Jedoch finde ich trotzdem keine Formel.
Bevor ich keine Formel finde kann ich nicht viel mit Induktion beweisen ;)
Also vlt. hat da noch wer einen Rat bei der Formel..
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Hallo quasimo,
> Hallo das habe ich schon gemacht, siehe bitte ersten Post.
> Außer für n=3 das ist die Lösung -8. Aber sonst siehe
> erste Post.
>
> Bevor ich an Induktion denken kann brauche ich die richtige
> Formel . Und da habe ich Mathe Power´s Rat befolgt. (siehe
> letzte Post)
> Jedoch finde ich trotzdem keine Formel.
> Bevor ich keine Formel finde kann ich nicht viel mit
> Induktion beweisen ;)
>
> Also vlt. hat da noch wer einen Rat bei der Formel..
Die Auswertung legt doch folgende Behauptung nahe:
Für [mm]n=2l, \ l \in \IN[/mm] ist der Wert des Integrals 0.
Für [mm]n=2*m+1, \ m \in \IN_{0}[/mm] ist der Wert des Integrals [mm]\left(-1\right)^{m}*2*4^{m}[/mm]
Grus
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Do 22.11.2012 | | Autor: | quasimo |
Danke ;)
LG
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