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| Aufgabe | Berechne das Volumen, das von der x-y Ebene und den Funktionen y=x² - 1,
y=x - 1 und z= x+y+4 eingeschlossen wird |
hey liebes Matheraum-Team
wie die themenbeschreibung schon sagt geht es hierbei um mehrfachintegrale ( hab nicht das entsprechende unterforum gefunden und es dementsprechend in die kategorie "sonstiges" eingeordnet)
mein lösungsansatz lautet wie folgt:
als erstes hab ich erstmal die schnittstellen der beiden y-funktionen berechnet:
y=x²-1 und y= x-1
[mm] \Rightarrow [/mm] x²-x=0
mit der p-q-formel kam ich auf [mm] x_{1}= [/mm] 1 und [mm] x_{2}= [/mm] 0
das heisst, dass ich nun die grenzen für das x-integral, so nenn ich das mal, gefunden habe:
[mm] V=\integral_{0}^{1}\integral_{x - 1 }^{x^2 - 1}{dy}{dx}
[/mm]
und jetzt bin ich mir nicht mehr sicher...ich hab jetzt einfach die z-funktion in das doppelintegral eingesetzt und nach den variablen integriert:
[mm] V=\integral_{0}^{1}\integral_{x - 1 }^{x^2 - 1}{ {x+y+4} dy}{dx}
[/mm]
[mm] V=\integral_{0}^{1}{[xy+\bruch{1}{2}y^2+4y]^{x^2 - 1}_{x - 1}dx}
[/mm]
[mm] V=\integral_{0}^{1}{[x^3-x+\bruch{1}{2}(x^2-1)^2+4x^2-4]-[x^2-x+\bruch{1}{2}(x-1)^2+4x-4]dx}
[/mm]
nach ausrechnen (binomiche formeln etc.) komm ich auf folgende gleichung:
[mm] V=\integral_{0}^{1}[x^3-3x+\bruch{1}{2}x^4+\bruch{3}{2}x^2]dx
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] V= [mm] [\bruch{1}{4}x^4-\bruch{3}{2}x^2+\bruch{1}{10}x^5+\bruch{1}{2}x^3]_{0}^{1}
[/mm]
nachdem ich die grenzen eingesetzt habe, komm ich auf ein Volumen [mm] V=-\bruch{13}{20}
[/mm]
ich denke aber, dass dies falsch ist, da ein negatives volumen nicht existiert?
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und mir zeigen, wo mein fehler liegt
LG matheigel :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo matheigel,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechne das Volumen, das von der x-y Ebene und den
> Funktionen y=x² - 1,
> y=x - 1 und z= x+y+4 eingeschlossen wird
> hey liebes Matheraum-Team
>
> wie die themenbeschreibung schon sagt geht es hierbei um
> mehrfachintegrale ( hab nicht das entsprechende unterforum
> gefunden und es dementsprechend in die kategorie
> "sonstiges" eingeordnet)
>
> mein lösungsansatz lautet wie folgt:
>
> als erstes hab ich erstmal die schnittstellen der beiden
> y-funktionen berechnet:
>
> y=x²-1 und y= x-1
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x²-x=0
>
> mit der p-q-formel kam ich auf [mm]x_{1}=[/mm] 1 und [mm]x_{2}=[/mm] 0
>
> das heisst, dass ich nun die grenzen für das x-integral,
> so nenn ich das mal, gefunden habe:
>
> [mm]V=\integral_{0}^{1}\integral_{x - 1 }^{x^2 - 1}{dy}{dx}[/mm]
>
> und jetzt bin ich mir nicht mehr sicher...ich hab jetzt
> einfach die z-funktion in das doppelintegral eingesetzt und
> nach den variablen integriert:
>
> [mm]V=\integral_{0}^{1}\integral_{x - 1 }^{x^2 - 1}{ {x+y+4} dy}{dx}[/mm]
Korrekt muss das so lauten:
[mm]V=\integral_{0}^{1}{\integral_{x - 1 }^{x^2 - 1}{ \integral_{0}^{x+y+4} \ dz} \ dy} \ dx}[/mm]
>
> [mm]V=\integral_{0}^{1}{[xy+\bruch{1}{2}y^2+4y]^{x^2 - 1}_{x - 1}dx}[/mm]
>
> [mm]V=\integral_{0}^{1}{[x^3-x+\bruch{1}{2}(x^2-1)^2+4x^2-4]-[x^2-x+\bruch{1}{2}(x-1)^2+4x-4]dx}[/mm]
>
> nach ausrechnen (binomiche formeln etc.) komm ich auf
> folgende gleichung:
>
> [mm]V=\integral_{0}^{1}[x^3-3x+\bruch{1}{2}x^4+\bruch{3}{2}x^2]dx[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] V=
> [mm][\bruch{1}{4}x^4-\bruch{3}{2}x^2+\bruch{1}{10}x^5+\bruch{1}{2}x^3]_{0}^{1}[/mm]
>
> nachdem ich die grenzen eingesetzt habe, komm ich auf ein
> Volumen [mm]V=-\bruch{13}{20}[/mm]
Das Volumen kommt hier negativ heraus, da die Obergrenze
kleiner als die Untergrenze des innersten Integrals ist.
[mm]V=\integral_{0}^{1}\integral_{x - 1 }^{x^2 - 1}{ {x+y+4} dy}{dx}[/mm]
Beachte, daß im Intervall [mm]\left[0,1\right][/mm] gilt:
[mm]x^{2}-1 \le x-1[/mm]
Daher muß das Volumenintegral richtigerweise so lauten:
[mm]V=\integral_{0}^{1}\integral_{x^{2} - 1 }^{x - 1}{ {x+y+4} dy}{dx}[/mm]
>
> ich denke aber, dass dies falsch ist, da ein negatives
> volumen nicht existiert?
Der Betrag des eingschlossenen Volumens stimmt trotzdem
>
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und mir zeigen, wo
> mein fehler liegt
>
> LG matheigel :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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