Meine erste Steckbriefaufgabe < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mi 29.03.2006 | | Autor: | NaXiL |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vom Grad 5, deren Graph symmetrisch zum Ursprung ist und in P(-1|1) eine Wendetangente mit der Steigung 3 hat. |
Ich habe bereits das Forum durchkämmt und habe deshalb schon Ansätze...
Die ursprüngliche Funktion lautet ja : [mm] f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
[/mm]
aber mein Problem ist jetzt woher ich die nächsten Teile nehmen kann. Mit welchem Verfahren muss ich da vorgehen? Kann mir das jmd. vllt so bissi erklären?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Mi 29.03.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Naxil & ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion vom Grad 5, deren
> Graph symmetrisch zum Ursprung ist und in P(-1|1) eine
> Wendetangente mit der Steigung 3 hat.
> Ich habe bereits das Forum durchkämmt und habe deshalb
> schon Ansätze...
Super vorbildlich! Wenn du nun noch eine nette Begrüßung schreiben würdest, wäre das perfekt. Denn wir freuen uns immer über ein nettes Hallo oder so etwas in die Richtung.
>
> Die ursprüngliche Funktion lautet ja :
> [mm]f(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f[/mm]
>
Das ist bedingt richtig. Der Trick bei solchen Aufgaben ist es, für jede Unbekannte eine Gleichung aufzustellen (wir haben in diesem Fall sechs Unbekannte, a, b,c...f, wir bräuchten also sechs Gleichungen/Informationen)
Eine Information, die wir haben, grenzt das ganze schon stark ein und begrenzt den Rechenaufwand.
"deren Graph symmetrisch zum Ursprung ist"
Das heißt, es liegt eine Punktsymmetrie vor, wodurch wir wissen, dass diese Funktion nur noch die Teile enthält, wo ein ungerader Exponent enthalten ist
[mm] f(x)=ax^5+\red{bx^4}+cx^3+\red{dx^2}+ex^{\blue{1}}+\red{f}
[/mm]
All das was rot ist, widerspricht der Achsensymmetrie, unsere allgemeine Funktionsgleichung lautet:
[mm] f(x)=ax^5+cx^3+ex
[/mm]
f'(x) = ...
f''(x) = ...
Unsere weiteren Details lauten: "in P(-1|1) eine Wendetangente mit der Steigung 3"
Die Funktion läuft durch den Punkt (-1|1) (also bei x=-1 ist der y-Wert =1)
f(-1) =1
[mm] 1=a(-1)^5+c(-1)^3+e(-1)
[/mm]
Das ist die erste Gleichung! Von drei, schaffst du die restlichen beiden alleine?
Tipp: Steigung heißt erste Ableitung, Wendepunkt mit zweiter Ableitung...
Die drei Gleichungen löst du dann durch Additions-,Subtraktions- oder Einsetzungsverfahren; oder welches System du da auch immer kennst.
> aber mein Problem ist jetzt woher ich die nächsten Teile
> nehmen kann. Mit welchem Verfahren muss ich da vorgehen?
> Kann mir das jmd. vllt so bissi erklären?
Okay? War das ausführlich genug? Wenn nicht, dann frag ruhig noch einmal nach. Du darfst auch gerne deine Lösung posten, wir kontrollieren die dann (wahrscheinlich).
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
mit freundlichen Grüßen
Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 29.03.2006 | | Autor: | NaXiL |
oje das ist mir jetzt peinlich :S ehm welche 2 anderen meinst du?
bei dem [mm] 1=a(-1)^5 [/mm] + [mm] c(-1)^3 [/mm] + e(-1)
welche 2 anderen meinst du da? also wo muss ich noch mal das selbe machen? bei den 2 nächsten ableitungen? da? oder wo? mhh und das mit den gleichsetzungverfahren (usw.) muss ich dann mit den 3 gleichungen machen, von denen du gesprochen hast um dann eine variable herauszubekommen? danke auf jeden fall schon mal du hast mir schon weitergeholfen :) und tut mir leid dass ich die Begrüßung vergessen habe :S
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Hallo!
Deine Anrede fehlt ja aber immer noch!?
> oje das ist mir jetzt peinlich :S ehm welche 2 anderen
> meinst du?
Na die anderen beiden Gleichungen! Es hieß doch, bei 6 Variablen brauchen wir 6 Gleichungen, da wir aber nur noch 3 Variablen haben, brauchen wir nur noch 3 Gleichungen. Und die eine wurde dir bereits vorgerechnet.
> bei dem [mm]1=a(-1)^5[/mm] + [mm]c(-1)^3[/mm] + e(-1)
>
> welche 2 anderen meinst du da? also wo muss ich noch mal
> das selbe machen? bei den 2 nächsten ableitungen? da? oder
> wo? mhh und das mit den gleichsetzungverfahren (usw.) muss
> ich dann mit den 3 gleichungen machen, von denen du
> gesprochen hast um dann eine variable herauszubekommen?
> danke auf jeden fall schon mal du hast mir schon
> weitergeholfen :) und tut mir leid dass ich die Begrüßung
> vergessen habe :S
Also, das ist doch ganz einfach, und wenn du unser Forum schon durchsucht hast, müsstest du da eigentlich genug Aufgaben zu gefunden haben! Hast wohl nicht richtig geschaut und hoffst, dass wir dir alles vorrechnen?
Also, die zweite "Bedingung" war ja, dass im Punkt (-1/1) ein Wendepunkt vorliegt. Was sind nun die Bedingunen für einen Wendepunkt? Genau, die zweite Ableitung muss =0 sein, und die dritte [mm] \not=0. [/mm] Berechne also die zweite Ableitung (die dritte brauchst du erst zur Überprüfung, da du mit einer Ungleichung bei einer Steckbriefaufgabe nicht wirklich etwas anfangen kannst), setze als x-Wert -1 ein, "berechne" den y-Wert und setze diesen =0. Außerdem soll die Steigung in diesem Punkt ja =3 sein, also musst du noch die erste Ableitung an dieser Stelle =3 setzen. Dann hast du zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, die dritte bzw. erste Gleichung wurde dir ja schon gegeben. Und dann musst du nur noch das LGS lösen.
Poste doch mal deine (Zwischen-)Ergebnisse.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mi 29.03.2006 | | Autor: | NaXiL |
hallo Bastiane !!! :)
nein ich will nicht die komplette aufgabe von euch vorgerechnet haben, aber unser lehrer ist so dass wir uns alles selbst erarbeiten müssen und er das dann abfragt... komischer pauker  ich freu mich über jede Hilfe von euch, also auch schonmal danke an dich...
meine zwischenergebnisse:
f'(x)= [mm] 5ax^4 [/mm] + [mm] 3bx^2 [/mm] + c
0 = 5a + 3b - 1
1 = 5a + 3b
f'(3)= [mm] 5ax^4 [/mm] + [mm] 3bx^2 [/mm] + c
3 = 5a + 3b - 1
4 = 5a + 3b
ich frag lieber ma nach: stimmt das bis jetzt? weil dann würd ich einsetzungs oder additionsverfahren anwenden, je nach dem... welches würdet ihr mir empfehlen? nach variable auflösen und einsetzen? oder was denkt ihr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 Mi 29.03.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo naxil
> meine zwischenergebnisse:
>
> f'(x)= [mm]5ax^4[/mm] + [mm]3bx^2[/mm] + c
> 0 = 5a + 3b - 1
> 1 = 5a + 3b
1. f'(-1) ist doch nicht 0! unten hast du doch auch richtig f'(-1)=3.
2. wieso ersetzt du das unbekannte c plötzlich durch -1? Wenn du x=-1 einsetzest passiert mit c doch nichts, weil da ja kein x steht.
> f'(3)= [mm]5ax^4[/mm] + [mm]3bx^2[/mm] + c
> 3 = 5a + 3b - 1
wieder falsch c nicht -1
also richtig :3=5a+3b+c !
> 4 = 5a + 3b
f, s.o.
als letzte Gleichung fehlt dir noch : Wendepkt bei x=-1 also f''(-1)=0
Erst dann alle 3 Gleichungen untereinander schreiben und das System lösen!
Probe am Ende ist hilfreich!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Mi 29.03.2006 | | Autor: | NaXiL |
hey leduart !
danke, dass du mich darauf hingewiesen hast :)
jetzt hab ich :
5a + 3b + c = 0
5a + 3b +c -3 = 0
-20a - 6b = 0
stimmts? dann additionsverfahren?
Ich komm auf kein Ergebnis... das lässt sich nicht auflösen :( kann jmd helfen?
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N'abend NaXil,
Du hast 3 Gleichungen
Der Punkt ist P(-1|1) -> f(-1)=1
Die Steigung ist 3 -> f'(-1)=3
Wendetangente -> f''(-1)=0
Das GS was Du bekommen hast ist nicht lösbar das liegt aber daran das die erste Gleichung nicht so ganz stimmt.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 30.03.2006 | | Autor: | NaXiL |
hey... also wir hatten heute mathe und haben die aufgabe besprochen... ich war der einzige der ansätze hatte und sie fast richtig hatte...also danke für eure Hilfestellungen!!
Wens interessiert hier ist die richtige Lösung:
[mm] f(x)=bx+dx³+fx^5
[/mm]
I. 1=-b-d-f
[mm] f'(3)=b+3dx²+5fx^4
[/mm]
II. 3=b+3d+5f
f''(x)=6dx+20fx³
III. 0=6d-20f
I. 1=-b-d-f
II. 3=b+3d+5f
III. 0=6d-20f <=> 3d=-10f <=> d=-10/3 f
III. in II. 3=b+[-10f]+5f
*neu* IV 3=b-5f <=> b=3+5f
III. in I. 1=-b-(-10/3f)-f
*neu* V 1=-b+7/3 f
IV. in V 1=-[3+5f]+7/3f
1=-3-5f+7/3f |+3
4=-8/3f | *(-3/8)
-3/2=f
d=-10/3*(-3/2)
d=5
b=3+5*[-3/2]
b=-4,5
---> f(x)= [mm] -4,5+5x³-3/2x^5 [/mm] <---
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