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| Aufgabe | Nimmt f auf der Menge A einen größten oder kleinsten Wert an? Berechnen Sie diese ggf.
f(x,y) = x+y-2sin(x)sin(y), A={ [mm] (x,y)^T \in R^2 [/mm] | x,y [mm] \ge [/mm] 0, x+y [mm] \le \pi [/mm] } |
Hallo ich bräuchte mal eure Hilfe. Bin jetzt soweit gekommen.
∂ nach x = 1 - 2cos(x)sin(y)
∂ nach y = 1 - 2cos(y)sin(x)
Jakobi-Matrix muss gleich 0 sein, da notw. Bedingung von Extrema ausrechnen.
[mm] \Rightarrow [/mm]
1 - 2cos(x)sin(y) = 0
1 - 2cos(y)sin(x) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm]
1 - 2cos(x)sin(y) = 1 - 2cos(y)sin(x) [mm] \gdw [/mm] cos(x)sin(y) = cos(y)sin(x)
Und wie kann ich jetzt die Gleichung lösen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:56 Mo 04.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Unabhängig von dem Lösungsweg, ist die letzte Gleichung trivial.
[mm] \cos(x)\sin(y) [/mm] = [mm] \cos(y)\sin(x)
[/mm]
[mm] \gdw\left( \bruch{\sin(y)}{\cos(y)} \right) [/mm] = [mm] \left( \bruch{\sin(x)}{\cos(x)} \right)
[/mm]
[mm] \gdw\tan(y) [/mm] = [mm] \tan(x) \Rightarrow [/mm] ?
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Hallo DM08,
> Unabhängig von dem Lösungsweg, ist die letzte Gleichung
> trivial.
>
> [mm]\cos(x)\sin(y)[/mm] = [mm]\cos(y)\sin(x)[/mm]
>
> [mm]\gdw\left( \bruch{\sin(y)}{\cos(y)} \right)[/mm] = [mm]\left( \bruch{\sin(x)}{\cos(x)} \right)[/mm]
>
> [mm]\gdw\tan(y)[/mm] = [mm]\tan(x) \Rightarrow[/mm] ?
Hmm, ich denke, das ist keine Äquivalenz; du musst aufpassen, dass du nicht durch 0 teilst.
Was ist etwa für [mm]x=y=\frac{\pi}{2}[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:07 Mo 04.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die letzte gleichung ist sinnlos,
er ist zwar richtig, dass sie aus
1 - 2cos(x)sin(y) = 0
1 - 2cos(y)sin(x) = 0
folgt, sie würde aber auch aus
1 - 2cos(x)sin(y) = 10
1 - 2cos(y)sin(x) = 10
folgen!
1. überleg mal, dass die fkt symmetrisch in x und y ist.
2. bestimme den Wert bei 0! kann sie noch irgendwo kleiner werden. bestimme den oder die Werte bei [mm] x+y=\pi
[/mm]
Wenn du lokale minima suchst suche nach 2cosxsiny=1 UND 2cosysinx=1!
gruss leduart
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Hallo nochmal,
also ich versteh grad nur Bahnhof.
Könnt ihr mir sagen welche Gleichung ich expliziet lösen muss damit ich meine Kandidaten für meine Extrema bekomme??
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> Könnt ihr mir sagen welche Gleichung ich expliziet lösen
> muss damit ich meine Kandidaten für meine Extrema
> bekomme??
Hallo,
das Gleichungssystem, welches Du lösen wolltest, ist das richtige:
1 - 2cos(x)sin(y) = 0
1 - 2cos(y)sin(x) = 0
Du hattest nun herausgefunden, daß cos(y)sin(x)=cos(x)sin(y) gelten muß, also cos(y)sin(x)-cos(x)sin(y)=0
Verwende hier ein Additionstheorem und beachte, daß [mm] (x,y)\in [/mm] A.
Mit den Informationen, die Du bekommst, kannst Du dann in eine der Gleichungen Deines GSs gehen und x oder y ausrechnen. Auch hier mögen die Additionstheoreme helfen.
Gruß v. Angela
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> Hallo
> die letzte gleichung ist sinnlos,
Hallo,
nein, die letzte Gleichung - sofern Du die Gleichung cos(x)sin(y)=cos(y)sin(x) meinst - ist doch nicht sinnlos.
Aus dieser kann der mathestudent111 doch Informationen über x und y gewinnen, mithilfe derer er das GS dann lösen kann.
Gruß v. Angela
> er ist zwar richtig, dass sie aus
> 1 - 2cos(x)sin(y) = 0
> 1 - 2cos(y)sin(x) = 0
> folgt, sie würde aber auch aus
> 1 - 2cos(x)sin(y) = 10
> 1 - 2cos(y)sin(x) = 10
> folgen!
> 1. überleg mal, dass die fkt symmetrisch in x und y ist.
> 2. bestimme den Wert bei 0! kann sie noch irgendwo kleiner
> werden. bestimme den oder die Werte bei [mm]x+y=\pi[/mm]
> Wenn du lokale minima suchst suche nach 2cosxsiny=1 UND
> 2cosysinx=1!
> gruss leduart
>
>
>
>
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Irgendwie komme ich nicht auf eine vernünftige Lösung:
cos(x)sin(x) - cos(y)sin(x) = 0
[mm] \gdw [/mm] sin(x-y) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] x-y = 0 oder x-y = [mm] \pi
[/mm]
Aber ich weiß nicht was mir das genau bringen soll???
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> Irgendwie komme ich nicht auf eine vernünftige Lösung:
>
> cos(x)sin(x) - cos(y)sin(x) = 0
> [mm]\gdw[/mm] sin(x-y) = 0
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x-y = 0 oder x-y = [mm]\pi[/mm]
Hallo,
ja,
Du weißt dann: [mm] x-y=k*\pi [/mm] mit [mm] k\in \IZ,
[/mm]
dh. [mm] x=y+k\pi,
[/mm]
und da x und y beide zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] liegen sollen,
kommt nur infrage
a. x=y
b. x=0 und [mm] y=\pi
[/mm]
c. [mm] x=\pi [/mm] und y=0.
>
> Aber ich weiß nicht was mir das genau bringen soll???
Von selbst bringen tut das gar nichts. Da muß man schon etwas machen.
Und was Du nun machen sollst, hatte ich Dir zuvor gesagt.
Gruß v. Angela
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Ja die 3 Mögl. hatte ich mir auch schon gedacht.
II) und III) fallen ja raus, weil wenn ich diese Punkte in die Jacobi-Matrix einsetze, wird sie nicht Null.
I) Also bleibt nur noch x=y übrig.
Nach Rechung müsste cos(x)sin(y) = 0,5 und cos(y)sin(x) = 0,5
damit JM gleich null wird.
Wie gehe ich jetzt dann vor???
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> Ja die 3 Mögl. hatte ich mir auch schon gedacht.
>
>
> II) und III) fallen ja raus, weil wenn ich diese Punkte in
> die Jacobi-Matrix einsetze, wird sie nicht Null.
Hallo,
ja.
>
> I) Also bleibt nur noch x=y übrig.
> Nach Rechung müsste cos(x)sin(y) = 0,5 und cos(y)sin(x) =
> 0,5
Nun, wenn ich x=y einsetze, bekomme ich cos(x)sin(x)=0.5.
Der bereits gegebene Tip lautet wieder: Additionstheoreme.
Gruß v. Angela
> damit JM gleich null wird.
> Wie gehe ich jetzt dann vor???
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Ah super.
Jetzt habe ich es auch raus.
Also x=y= [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
Um die Aufgabe zu vervollständigen muss ich doch [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] noch in meine Hesse Matrix einsetzten.
Es folgt:
[mm] \pmat{ 2sin(x)sin(y) & -2cos(x)cos(y) \\ -2cos(x)cos(y) & 2sin(x)sin(y) },
[/mm]
aber wenn ich x=y= [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] bekomme ich:
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }, [/mm] es ist nicht pos. bzw. neg. definit.
Wie soll ich jetzt Aussagen über den größten bzw. kleinster Wert machen?
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> Ah super.
> Jetzt habe ich es auch raus.
> Also x=y= [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> Um die Aufgabe zu vervollständigen muss ich doch
> [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] noch in meine Hesse Matrix einsetzten.
>
> Es folgt:
>
> [mm]\pmat{ 2sin(x)sin(y) & -2cos(x)cos(y) \\ -2cos(x)cos(y) & 2sin(x)sin(y) },[/mm]
>
> aber wenn ich x=y= [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] bekomme ich:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 },[/mm] es ist nicht pos. bzw. neg.
> definit.
> Wie soll ich jetzt Aussagen über den größten bzw.
> kleinster Wert machen?
Allfällige Extremwerte im Inneren des Definitions-
gebiets gibt es also nicht. Da dieses aber kompakt
und die Funktion stetig ist, muss es natürlich ein
absolutes Minimum und ein absolutes Maximum
geben. Da diese nicht im Inneren auftreten können,
müssen sie auf dem Rand liegen, den du nun noch
untersuchen musst. Tipp: nutze dabei auch die
Symmetrie (der Funktion und des Definitionsbe-
reichs).
LG Al-Chw.
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> > Ah super.
> > Jetzt habe ich es auch raus.
> > Also x=y= [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
> >
> > Um die Aufgabe zu vervollständigen muss ich doch
> > [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] noch in meine Hesse Matrix einsetzten.
> >
> > Es folgt:
> >
> > [mm]\pmat{ 2sin(x)sin(y) & -2cos(x)cos(y) \\
-2cos(x)cos(y) & 2sin(x)sin(y) },[/mm]
>
> >
> > aber wenn ich x=y= [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] bekomme ich:
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & -1 \\
-1 & 1 },[/mm] es ist nicht pos. bzw. neg.
> > definit.
> > Wie soll ich jetzt Aussagen über den größten bzw.
> > kleinster Wert machen?
>
>
> Allfällige Extremwerte im Inneren des Definitions-
> gebiets gibt es also nicht.
Hallo,
wenn ich auch mit Dir darin übereinstimme, daß es Inneren keine Extrema gibt, so stimmt doch dieser Schluß nicht, oder?
Die Matrix ist in [mm] (\pi/4, \pi/4) [/mm] pos. semidefinit, man könnte also einen Extremwert oder einen Sattelpunkt haben.
Was der Fall ist, müßte man "irgendwie anders" untersuchen, oder hab' ich grad einen Kringel zuviel im Hirn?
Gruß v. Angela
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> > > aber wenn ich x=y= [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] (einsetze) bekomme ich:
> > > [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 },[/mm]
> > > es ist nicht pos. bzw. neg. definit.
> > > Wie soll ich jetzt Aussagen über den größten bzw.
> > > kleinsten Wert machen?
> > Allfällige Extremwerte im Inneren des Definitions-
> > gebiets gibt es also nicht.
>
> Hallo,
>
> wenn ich auch mit Dir darin übereinstimme, daß es Inneren
> keine Extrema gibt, so stimmt doch dieser Schluß nicht,
> oder?
>
> Die Matrix ist in [mm](\pi/4, \pi/4)[/mm] pos. semidefinit, man
> könnte also einen Extremwert oder einen Sattelpunkt
> haben.
> Was der Fall ist, müßte man "irgendwie anders"
> untersuchen, oder hab' ich grad einen Kringel zuviel im
> Hirn?
>
> Gruß v. Angela
Hallo Angela,
im Moment, als ich den "Senden"-Button drückte, kam mir
auch ein leiser Zweifel, und ich habe eine Reaktion dann
fast schon erwartet ...
Die Hesse-Matrix ist also im betrachteten Punkt leider
nicht definitiv indefinit, sondern definitiv nur semi-definit,
da einer der Eigenwerte gleich Null ist.
Wie weiter ?
Es würde doch genügen, dass die Funktion längs einer
Geraden, die durch den Punkt geht, monoton steigend
ist. Wegen der vorliegenden Symmetrie würde ich dazu
einmal die Gerade g: y=x=t betrachten. Für die auf g
beschränkte Funktion [mm] f_g [/mm] haben wir dann die Gleichung
$\ [mm] f_g(t)\ [/mm] =\ [mm] 2*\left(t-sin^2(t)\right)$
[/mm]
Man kann jetzt also eine kleine Untersuchung dieser
Funktion anschließen - mit dem erhofften Ergebnis.
LG Al
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Ich habe jetzt nochmal nachgerechnet.
[mm] [f''(\bruch{\pi}{4}, \bruch{\pi}{4})] [/mm] ist pos. def. mit den den Eigenwerten 1 und 1. Somit ist es ein lok. Min. !!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mo 04.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
glaub ich nicht! hast du Als Kurve angesehen?
wenn das wirklich richtig istm und du nicht f'' meinst sondern die definitheit der matrix dann rechne bitte vor.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Do 07.07.2011 | | Autor: | pAuLi88 |
Wo sind denn nun die Extrempunkte? Dass diese lineare Funktion monoton steigend ist, sagt uns dass es keine Extrema im Inneren gibt??? Und was meint ihr mit auf dem Rand?
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> Wo sind denn nun die Extrempunkte? Dass diese lineare
> Funktion monoton steigend ist, sagt uns dass es keine
> Extrema im Inneren gibt??? Und was meint ihr mit auf dem
> Rand?
Der Rand der Definitionsmenge A ist ein Dreieck in der
x-y-Ebene. Um die Funktion f am Rand von A zu untersuchen,
betrachtet man ihren Verlauf separat für jede der drei
Dreiecksseiten. Extremwerte der Funktion könnten ins-
besondere (aber nicht nur) an den Eckpunkten des Drei-
ecks auftreten.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Do 07.07.2011 | | Autor: | pAuLi88 |
Ein Dreieck in der x-y-Ebene? Interessant. Kannst du mir ein Beispiel für eine Seite geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 Do 07.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
kannst du wirklich nicht das Gebier [mm] y,x\ge [/mm] 0 [mm] x+y\le \pi [/mm] zeichnen
oder die Gerade [mm] x+y=\pi?
[/mm]
Aber wenn du unbedingt eine Seite willst A=(0,0,0) [mm] B=(0,\pi,0) [/mm] Seite AB
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Fr 08.07.2011 | | Autor: | pAuLi88 |
Ich habe dann auf dem Rand: x=0 oder y=0. f(0,0)=0; [mm] f(0,\pi)=\pi; f(\pi,0)=\pi.
[/mm]
Heißt das es gibt Extremstellen dort?
(Danke schon mal für die Geduld)
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> Ich habe dann auf dem Rand: x=0 oder y=0. f(0,0)=0;
> [mm]f(0,\pi)=\pi; f(\pi,0)=\pi.[/mm]
> Heißt das es gibt
> Extremstellen dort?
Guten Tag pAuLi88,
das müssten deswegen allein noch nicht unbedingt
(absolute) Extremstellen sein. Betrachte auch den
Verlauf der Funktion den 3 Kanten entlang !
Für die Kante von (0,0) nach [mm] (\pi,0) [/mm] ist zum Beispiel
f(x,y)=f(x,0)=x+0-2*sin(x)*sin(0)=x . Diese Funktion
steigt für [mm] 0\le{x}\le\pi [/mm] monoton von 0 bis [mm] \pi [/mm] an.
Da gibt's jedenfalls dazwischen kein Randextremum.
Nun schau, wie es den anderen 2 Kanten entlang
aussieht !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:49 Fr 08.07.2011 | | Autor: | pAuLi88 |
Guten Morgen!
Für die Kante von (0,0) nach [mm] (0,\pi) [/mm] genauso.
Für die von [mm] (0,\pi) [/mm] nach [mm] (\pi,0) [/mm] bewegt es sich doch zwischen [mm] \pi [/mm] und [mm] <\pi [/mm] und [mm] \pi.
[/mm]
Ist dann bei [mm] (0,\pi)=(\pi,0) [/mm] je ein lokales Maximum, während bei (0,0) ein globales Minimum vorliegt?
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> Guten Morgen!
> Für die Kante von (0,0) nach [mm](0,\pi)[/mm] genauso. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für die von [mm](0,\pi)[/mm] nach [mm](\pi,0)[/mm] bewegt es sich doch
> zwischen [mm]\pi[/mm] und [mm]<\pi[/mm] und [mm]\pi.[/mm]
> Ist dann bei [mm](0,\pi)=(\pi,0)[/mm] je ein lokales Maximum,
> während bei (0,0) ein globales Minimum vorliegt?
Die Maxima in [mm] (0,\pi) [/mm] und [mm] (\pi,0) [/mm] sind auch globale Maxima;
die Funktion erreicht in ihnen beiden ihren absolut größten
Wert [mm] \pi [/mm] .
Die auf die Hypotenuse des Dreiecks beschränkte Funktion
hat im Punkt [mm] (\pi/2,\pi/2) [/mm] ein Minimum mit dem Wert [mm] \pi-2>0 [/mm] .
Da dies noch größer ist als der Wert f(0,0)=0 , reicht
es nicht zu einem absoluten Minimum.
LG Al-Chw.
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