Menge Stetigkeitspunkte? < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge der Stetigkeitspunkte der folgenden Abbildungen
[mm] f(x,y)=\begin{cases} xycos \bruch{1}{x^2}+\bruch{(y+1)sin(x)}{x}, & \mbox{für } x \mbox{ /not=0} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ =0} \end{cases}
[/mm]
[mm] g(x,y)=\begin{cases} arctan \bruch{xy^2}{x^2+y^4} , & \mbox{für } (x,y) \mbox{/not=(0,0)} \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{=0} \end{cases} [/mm] |
Ich fang mal mit f(x,y) an.
Als Komposition stetiger Funktionen [mm] (\bruch{1}{x^{2}} [/mm] ist stetig, da x [mm] \not=0) [/mm] ist f auf [mm] {{(x,y)\in \IR^{2} | x \not=0}} [/mm] stetig.
Ich würde als nächstes eine Fallunterscheidung machen wollen, erstmal [mm] y_{0}=0 [/mm] setzen und den Limes bilden. Und genau da fangen die Probleme an, lass ich x und y gegen 0 laufen, oder nur eins von beiden?
Grüße, Enno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:13 Mi 07.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
in einer [mm] \delta [/mm] Umgebung von (0,0) muss |f|< epsilon sein für alle x,y in der Umgebung. also müssen beide gegen 0 gehen. sie dir erst mal den GW von sin(x)/x für x gegen 0 an, dann bist du mit f schon fast fertig.
Gruß leduart
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Der Grenzwert von [mm] \bruch{sin(x)}{x} [/mm] für x->0 sollte 1 sein. Wenn ich mit l'Hospital ableite, hab ich [mm] \bruch{cos(x)}{1}, [/mm] also cos(0) also 1.
Ich nehme also an, dass durch das Wegfallen von y im Zähler nur noch quasi [mm] \bruch{(0+1)*sin(x)}{x} [/mm] bleibt, welches den Limes von 1 hat. Der erste Term sollte wegfallen wegen der Multiplikation richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mi 07.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Der Grenzwert von [mm]\bruch{sin(x)}{x}[/mm] für x->0 sollte 1
> sein. Wenn ich mit l'Hospital ableite, hab ich
> [mm]\bruch{cos(x)}{1},[/mm] also cos(0) also 1.
Ja, es gilt [mm] \bruch{sin(x)}{x} \to [/mm] 1 für x [mm] \to [/mm] 0.
> Ich nehme also an, dass durch das Wegfallen von y im
> Zähler nur noch quasi [mm]\bruch{(0+1)*sin(x)}{x}[/mm] bleibt,
> welches den Limes von 1 hat. Der erste Term sollte
> wegfallen wegen der Multiplikation richtig?
Ja, dann hast Du für x [mm] \ne [/mm] 0:
f(x,0)= [mm] \bruch{sin(x)}{x} \to [/mm] 1 [mm] \ne [/mm] 0=f(0,0) für x [mm] \to [/mm] 0.
Und das bedeutet ?
FRED
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Das bedeutet, dass f unstetig ist im Punkt (0,0), wenn ich nicht irre. Reicht das so als Antwort, oder muss das ganze nochmal formal aufgeschrieben werden? Heißt das auch, dass es keine Stetigkeitspunkte gibt, oder sind alle Punkte außer (0,0) Stetigkeitspunkte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Mi 07.05.2014 | | Autor: | elduderino |
Niemand?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 07.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Das bedeutet, dass f unstetig ist im Punkt (0,0), wenn ich
> nicht irre.
Ja
> Reicht das so als Antwort, oder muss das ganze
> nochmal formal aufgeschrieben werden?
Das hab ich doch für Dich getan !
> Heißt das auch, dass
> es keine Stetigkeitspunkte gibt, oder sind alle Punkte
> außer (0,0) Stetigkeitspunkte?
Oben hast Du ja schon richtig bemerkt: f ist auf $ [mm] \{(x,y)\in \IR^{2} | x \not=0\} [/mm] $ stetig.
Bleiben also noch die Punkte [mm] (0,y_0) \quad (y_0 \in \IR)
[/mm]
Für [mm] y_0 \ne [/mm] -1 haben wir:
[mm] f(x,y_0) \to y_0+1\ne 0=f(0,y_0) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
(begründe das !)
Das bedeutet: f ist in [mm] (0,y_0) [/mm] nicht stetig , falls [mm] y_0 \ne [/mm] -1 ist.
Damit Du auch was zu tun hast: ist f in (0,-1) stetig oder nicht ?
FRED
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