Menge aller reelen Zahlenfolg. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Do 07.11.2013 | | Autor: | Boastii |
| Aufgabe | | Zeigen Sie bitte, dass die Menge M aller reellen Zahlenfolgen [mm] (a_n)_{n\in \mathbb N} [/mm], für die [mm] |a_n|=2 [/mm] für alle [mm] n \in \mathbb N [/mm] gilt, eine überabzählbare Menge ist. |
Hallo Matheraum,
ich habe hierbei ein "kleines" Problem.
Mein Ansatz:
ich habe mir überlegt, ich weiß erstens schon das R überabzählbar ist, da ja [mm] |\mathbb R|= 2^{\mathbb N} [/mm] gilt. Nur bin ich mir unsicher was denn genau [mm] |a_n|=2 [/mm] bedeuten soll? Unabhängig davon würde ich meinen Beweis so aussehen lassen:
Ich nehme an das die Menge abzählbar ist und führe das um Widerspruch. Sodass M überabzählbar sein muss.
Also habe ich 2 Fragen:
1. Ist dieser Ansatz korrekt?
2. Was bedeutet [mm] [mm] |a_n|=2 [/mm] genau?
Nun fällt mir gerade evt. was ein. Könnte [mm] |a_n|=2 [/mm] das sein:
[mm]
x\in a_n =\begin{cases} -2, & \mbox{für } x= \mbox{ -2} \\ 2, & \mbox{für } x= \mbox{ 2} \end{cases}
[/mm] Oder, da es sich um reelle Zahlen handelt muss ich hier noch auf- bzw. abrunden?
MfG Boastii
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Do 07.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Boasti,
> Zeigen Sie bitte, dass die Menge M aller reellen
> Zahlenfolgen [mm](a_n)_{n\in \mathbb N} [/mm], für die [mm]|a_n|=2[/mm] für
> alle [mm]n \in \mathbb N[/mm] gilt, eine überabzählbare Menge
> ist.
ich denke, dass das wirklich genau das meint, was da steht:
Wenn ich mal, aus Faulheitsgründen, eine reelle Zahlenfolge "als unendlich
langen Zeilenvektor schreiben darf (mit abzählbar vielen Komponenten)",
also
[mm] ${(a_n)}_{n=1}^\infty=(a_1,a_2,a_3,...)$
[/mm]
so wäre sowohl
$(-2,2,2,2,...)$
als auch
$(-2,-2,2,2,-2,-2,2,2,-2,-2,2,2,...)$
(intuitiv fortgesetzt gedacht) jeweils eine Zahlenfolge aus [mm] $M\,,$ [/mm] aber etwa
$(2,-1,2,2,2,...)$
wäre (egal, wie diese Folge fortgesetzt wird) nicht eine Folge wie gewünscht
(da hier das zweite Folgenglied den Betrag $1 [mm] \not=2$ [/mm] hat):
$(2,-1,2,2,2,...) [mm] \notin M\,.$
[/mm]
Im Prinzip ist die Aufgabe einfach:
Sei [mm] $M\,$ [/mm] wie oben. Sei
[mm] $B:=\{(x_n)_{n \in \IN}:\;\;\; \blue{(x_n=0 \text{ oder }x_n=1) \text{ für jedes }n \in \IN}\},$
[/mm]
d.h. [mm] $B\,$ [/mm] ist die Menge aller Zahlenfolgen mit Werten in [mm] $\{0,1\}\,.$ [/mm] Definiere
eine Bijektion von $M [mm] \to B\,.$
[/mm]
Und dass [mm] $B\,$ [/mm] überabzählbar ist, ist bekannt (oder falls nicht: Dazu findest
Du eigentlich recht schnell ![[]](/images/popup.gif) Beweise im Internet (Beispiel 4.5 e)).
Natürlich kannst Du auch einfach diesen Beweis "mit den Angaben Deiner
Aufgabe kopierend anpassen".
Grob: Die 0 identifizierst Du dann mit [mm] $-2\,,$ [/mm] und die [mm] $1\,$ [/mm] mit [mm] $2\,.$ [/mm] (Man könnte
auch die 0 mit 2 identifizieren, und die 1 mit [mm] $-2\,$ [/mm] - das ist eigentlich egal,
aber die erste Identifizierung ist wohl "natürlicher", was immer das nun
bedeuten möge...)
Nichts anderes macht aber eine solche Bijektion, von der ich sprach, dass
Du sie mal angeben sollst!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 Do 07.11.2013 | | Autor: | Boastii |
Hallo, danke erst mal für deine ausführliche Antwort.
Ich werde Morgen nochmal darauf zurück kommen und meinen Beweis-versuch hier hinschreiben.
Schönen Abend noch :)
MfG Boastii
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