Menge aller x, die Ungleichung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
Es seien:
[mm] a,\; b\; \in \; Q\; mit\; 0\; <\; a\; <\; [/mm] b.
Q = Menge der rationalen Zahlen
Man bestimme die Menge aller x in Q ohne {b}
Hier mein Ansatz:
b wird als x ausgeschlossen, da sonst der Nenner 0 wäre. Nun würde ich die Aufgabe in mehrere Etappen teilen. Zunächst würde ich für x folgendes annehmen:
[mm] Menge\; aller\; x\; in\; \left( Q\; ohne\; \left\{ b \right\}\; \cap \; \left\{ b,\; ...,\; \infty \right\} \right)
[/mm]
In Worten: Ich nehme für x nur Werte, die > b sind.
Daraus folgt: x > b und x > 0
[mm] \frac{ax\; -a^{2}}{x-b}\; >\; b\; [/mm]
[mm] ax\; -a^{2}\; >\; b\; \left( x-b \right)\; [/mm]
[mm] ax\; -bx\; >\; -b^{2}+a^{2}
[/mm]
[mm] x\left( a-b \right)\; >\; -b^{2}+a^{2}
[/mm]
Nun durch (a-b) teilen - darf ich ja, da a-b > 0 ist.
[mm] x\; <\; [/mm] a+b
Nun weiß ich, dass x < a+b sein muss.
[mm] M_{1}\; =\; \left\{ x\; \in \; Q\; \\; \left\{ b \right\}\; :\; x\; <\; a+b \right\}
[/mm]
Jetzt müsste ich noch den Fall für x < b und x > 0 und dann noch für b < 0 bis minus unendlich.
Das Ergebnis wäre dann die Vereinigung der Mengen [mm] M_1, M_2, [/mm] usw.
Richtig?
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> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> Es seien:
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> [mm]a,\; b\; \in \; Q\; mit\; 0\; <\; a\; <\;[/mm] b.
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> Q = Menge der rationalen Zahlen
>
> Man bestimme die Menge aller x in Q ohne {b}
>
Hallo,
wenn das alles ist, wäre es sehr einfach...
Ich fürchte, Du hast ein nicht ganz unwesentliches "Detail" der Aufgabenstellung vergessen...
Aber meine hellseherischen Fähigkeiten lassen mich mal wieder nicht im Stich:
Gewiß sollst Du die [mm] x\in \IQ [/mm] \ [mm] \{b\} [/mm] bestimmen, für welche $ [mm] \frac{ax\; -a^{2}}{x-b}\; >\; b\; [/mm] $ gilt.
Stimmt's?
Im Prinzip machst Du das schon richtig. Du erkennst, daß wegen des Ungleichheitszeichen Fallunterscheidungen notwendig sind.
Aber Du strebst zuviele Fallunterscheidungen an: 1. x> b und 2. x< b reichen doch. (Oder sollte ich etwas übersehen haben?)
Dann och eine Kleinigkeit, möglicherweise bloß ein Tippfehler:
> $ [mm] x\left( a-b \right)\; >\; -b^{2}+a^{2} [/mm] $
> Nun durch (a-b) teilen - darf ich ja, da a-b > 0 ist.
Es ist a-b < 0 . Das Ergebnis stimmt dann allerdings wieder:
$ [mm] x\; <\; [/mm] $ a+b
> $ [mm] M_{1}\; =\; \left\{ x\; \in \; Q\; \\; \left\{ b \right\}\; :\; x\; <\; a+b \right\} [/mm] $
Hier vergißt Du etwas sehr Wichtiges: Du hast gerade den Fall untersucht, daß x>b, diese Bedingung darfst Du in [mm] M_1 [/mm] nicht vergessen, und dann mußt Du über die Konsequenzen nachdenken.
Gruß v. Angela
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Danke Angela,
deine Hellseherischen Fähigkeiten sind verblüffend.
Habe die Aufgabe nun nochmals durchgerechnet - unter Verwendung deiner Tipps. Habe nun zwei Mengen, deren Vereinigung das Ergebnis ist.
Du sagtest: "und dann mußt Du über die Konsequenzen nachdenken." - über die Konsequenzen von was?
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> Du sagtest: "und dann mußt Du über die Konsequenzen
> nachdenken." - über die Konsequenzen von was?
Du hattest in Fall 1:
x>b und x<a+b
Die Konsequenzen? Keine...
Da a>0 gibt's da keine Widersprüche oder Einschränkungen. Hab' ich nicht dran gedacht vorhin.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mi 07.11.2007 | | Autor: | abi2007LK |
Vielen Dank. Hat mich irgendwie iritiert. Dann kann ich nun also alles nochmal hübsch zu Papier bringen.
Danke.
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