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| Aufgabe | Ist folgende Menge beschränkt?
[mm] $\{x\in \IR^3\ :\ x_{1}+x_{2}+x_{3} = 3 \text{ und } x_{2}^2 + x_{3}^4 \le 1\}$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe einen Ansatz,aber irgendwie komm ich nicht weiter...
Zum einen würd ich sagen dass das Bild vom ersten Teil ist {3} und vom zweiten Teil [mm] (-\infty,1].
[/mm]
Schneidet man die beiden Mengen, kommt die Nullmege raus....
Aber zum Beispiel gibts den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}, [/mm] der auch beide Bedingungen erfüllt...
Jetzt weiß ich nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:48 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ist folgende Menge beschränkt?
> [mm]\{x\in \IR^3\ :\ x_{1}+x_{2}+x_{3} = 3 \text{ und } x_{2}^2 + x_{3}^4 \le 1\}[/mm].
>
> Hallo!
>
> Ich habe einen Ansatz,aber irgendwie komm ich nicht
> weiter...
>
> Zum einen würd ich sagen dass das Bild vom ersten Teil ist
> {3} und vom zweiten Teil [mm](-\infty,1].[/mm]
> Schneidet man die beiden Mengen, kommt die Nullmege
> raus....
Das verstehe ich nicht so ganz...
> Aber zum Beispiel gibts den Vektor [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ 1},[/mm]
> der auch beide Bedingungen erfüllt...
Das auch nicht...
> Jetzt weiß ich nicht weiter...
Schaue dir doch mal die zweite Ungleichung an: [mm] $x_{2}^2 [/mm] + [mm] x_{3}^4 \le [/mm] 1$. Kannst du daraus folgern, dass [mm] $x_2$ [/mm] und [mm] $x_3$ [/mm] beschränkt sind?
Falls ja, löse die erste Gleichung nach [mm] $x_1$ [/mm] auf:
[mm] $x_{1} [/mm] = [mm] 3-x_2-x_3$
[/mm]
Welche Werte kann [mm] $x_1$ [/mm] dann nur annehmen?
Viele Grüße,
Marc
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Grob gesagt bewegen sich [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{4} [/mm] im Bereich [-1,1] ==> [mm] x_{1} [/mm] liegt ungefähr im Bereich [1,5] ==> beschränkt
Is das richtig so schlussgefolgert?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Grob gesagt bewegen sich [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{\red{3}}[/mm] im Bereich [-1,1]
> ==> [mm]x_{1}[/mm] liegt ungefähr im Bereich [1,5] ==> beschränkt
>
> Is das richtig so schlussgefolgert?
mmmh - nimm' doch mal beispielsweise für [mm] x_2=x_3=0,8 [/mm] <-- was kommt bei deiner Ungleichung dann raus?
Lg
Herby
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Di 16.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo Herby,
> > Grob gesagt bewegen sich [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{\red{3}}[/mm] im Bereich
> [-1,1]
> > ==> [mm]x_{1}[/mm] liegt ungefähr im Bereich [1,5] ==> beschränkt
> >
> > Is das richtig so schlussgefolgert?
>
>
>
> mmmh - nimm' doch mal beispielsweise für [mm]x_2=x_3=0,8[/mm] <--
> was kommt bei deiner Ungleichung dann raus?
Beim Abschätzen kann man doch ruhig großzügig sein, d.h. nicht jeder Punkt, der innerhalb der Schranken liegt, muss auch in der fraglichen Menge liegen (umgekehrt natürlich schon).
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:11 Di 16.06.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo Marc,
> Hallo Herby,
>
> > > Grob gesagt bewegen sich [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{\red{3}}[/mm] im Bereich
> > [-1,1]
> > > ==> [mm]x_{1}[/mm] liegt ungefähr im Bereich [1,5] ==> beschränkt
> > >
> > > Is das richtig so schlussgefolgert?
> >
> >
> >
> > mmmh - nimm' doch mal beispielsweise für [mm]x_2=x_3=0,8[/mm] <--
> > was kommt bei deiner Ungleichung dann raus?
>
> Beim Abschätzen kann man doch ruhig großzügig sein, d.h.
> nicht jeder Punkt, der innerhalb der Schranken liegt, muss
> auch in der fraglichen Menge liegen (umgekehrt natürlich
> schon).
das sehe sogar ich zu so später Stunde noch ein 
Liebe Grüße
Herby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Di 16.06.2009 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Grob gesagt bewegen sich [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{4}[/mm] im Bereich [-1,1]
> ==> [mm]x_{1}[/mm] liegt ungefähr im Bereich [1,5] ==> beschränkt
>
> Is das richtig so schlussgefolgert?
Ja, das ist richtig!
Für [mm] $x_2,x_3$ [/mm] gilt: [mm] $-1\le x_2\le [/mm] 1$ und [mm] $-1\le x_3\le [/mm] 1$ (das sind ja genau deine Intervalle).
Dann folgt für [mm] $x_1$
[/mm]
[mm] $3-1-1\le x_1=3-x_2-x_3\le [/mm] 3+1+1$, also
[mm] $1\le x_1\le [/mm] 5$
Damit liegen alle Punkte in dem Quader [mm] $[1,5]\times[-1,1]\times[-1,1]$, [/mm] der beschränkt ist.
Viele Grüße,
Marc
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