Menge bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man bestimme die Menge aller komplexen Zahlen z mit [mm] z^{3}=1 [/mm] und schreibe sie in der Form x+iy mit [mm] x,y\in\IR [/mm] |
Ich hab folgendermaßen versucht die Menge zu bestimmen:
[mm] z^{3}=1 [/mm]
[mm] \gdw z^{3}-1=0
[/mm]
[mm] \gdw (z-1)(z^{2}+z+1)=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] z-1=0 [mm] \vee (z^{2}+z+1)=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] z=1 [mm] \vee (z^{2}+z+1)=0
[/mm]
So das hab ich dann mit der pq-Formel berechnet und bekommen foldendes Ergebnis:
[mm] z=-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{-1} [/mm] oder [mm] z=-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{-1}
[/mm]
Ist dieses Ergebnis richtig?? Denn in meinem Buch steht unter der Wurzel 3i. Aber ich wüsste nicht wie ich auf dieses Ergebnis kommen sollte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mi 19.11.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Man bestimme die Menge aller komplexen Zahlen z mit [mm]z^{3}=1[/mm]
> und schreibe sie in der Form x+iy mit [mm]x,y\in\IR[/mm]
> Ich hab folgendermaßen versucht die Menge zu bestimmen:
> [mm]z^{3}=1[/mm]
> [mm]\gdw z^{3}-1=0[/mm]
> [mm]\gdw (z-1)(z^{2}+z+1)=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] z-1=0 [mm]\vee (z^{2}+z+1)=0[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] z=1 [mm]\vee (z^{2}+z+1)=0[/mm]
>
> So das hab ich dann mit der pq-Formel berechnet und
> bekommen folgendes Ergebnis:
> [mm]z=-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}\wurzel{-1}[/mm] oder
> [mm]z=-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{2}\wurzel{-1}[/mm]
>
> Ist dieses Ergebnis richtig?? Denn in meinem Buch steht
> unter der Wurzel 3i. Aber ich wüsste nicht wie ich auf
> dieses Ergebnis kommen sollte.
Kennst du denn die p-q-Formel, du willst sie schließlich anderen Kindern beibringen?
Also erstmal folgende Fragen:
Wie heißt die p-q-Formel?
Kann man sie hier anwenden? Warum?
Was ist hier p, was ist q?
Und nun einsetzen und umformen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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