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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Mo 18.04.2005 | | Autor: | MrPink |
Hallo, ich habe folgende Aufgabe gefunden:
Wieviele nat. Zahlen <= 1000.000 gibt es, die weder in der Form [mm] x^2 [/mm] noch [mm] x^3 [/mm] noch [mm] x^5 [/mm] sind ???
Also ich muss dass ganze nachher wohl durch Mengeninklusion machen, aber wie kommen ich an die Mächtigkeit der Menge aller Zahlen, die nicht in der Form [mm] x^2 [/mm] / [mm] x^3 [/mm] / [mm] x^5 [/mm] sind. Gibt es dort irgendwas mit teilern ???
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Di 19.04.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi ,
kann ja sein, dass ich mich irre, aber es gibt nur 1000 Quadratzahlen zwischen 0 und 1 Million, ebenso kann man die Anzahl der Qubikzahlen und der 5er-Potenzen bestimmen.
jetzt muss man nur noch darauf aufpassen, dass keine Quadratzahl zugleich Qubikzahl ist, dies passiert aber nur bei $ [mm] (2^3)^2=2^6=(2^2)^3 [/mm] $ und entsprechend bei [mm] 1^6 [/mm] , [mm] 3^6 [/mm] , 2^12 , 2^18 , 3^12 , [mm] 2^6*3^6 [/mm]
entsprechendes kann man sich für Qubikzahlen, die keine 5er-Potenzen sein dürfen und Quadratzahlen, die keine 5er-Potenzen sein dürfen überlegen.
Damit hättest du dann alle Zahlen - oder übersehe ich etwas?
viele grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:29 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo,
Deine Überlegungen sind richtig.
Da ich auch öfter was übersehe, habe ich mal den Compi drauf losgelassen.
Eine Zeile Programmcode reicht, um die Frage von MrPink zu beantworten:
| 1: | 10^6 - Length[Apply[Union, Map[Function[{i}, Range[10^(6/i)]^i], {2, 3, 5}]]]
| | 2: | 998899
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Der Funktionsaufruf Range.. liefert die Liste der ganzen Zahlen von 1 bis zur größten ganzen Zahl, die kleiner als die i-te Wurzel aus einer Million ist. Diese werden dann in die i-te Potenz erhoben, dass sich die Liste aller [mm] $x^i$ [/mm] zwischen 1 und [mm] $10^6$ [/mm] ergibt. Diese Funktion von i wird auf die ersten 3 Primzahlen angewandt und auf die Liste der Ergebnisse die Funktion zur Bildung von Vereinigungsmengen losgelassen. Dies entfernt die Doubletten. Von der Million Zahlen zwischen 1 und [mm] $10^6$ [/mm] wird nun die Anzahl der eben ermittelten Zahlen abgezogen, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten.
Daraus lernen wir mit Sicherheit den folgenden Satz:
Es ist wesentlich einfacher zu programmieren, als zu erklären 
(Lemma: Die Menge aller kommentierenden Zeichenketten in Programmcode ist leer. ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") )
Alles Gute,
Peter
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