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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 Mi 19.11.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
[mm](\Omega,\mathcal{A}), \quad \xi (\Omega, \mathcal{A})=\{f:\Omega \to \IR | f(\omega)\quad ist \quad endlich, \quad f \quad ist \quad messbar\}[/mm]
[mm]f \in \xi (\Omega, \mathcal{A}) \gdw f = \summe_{i=1}^{n}a_i 1_{\{A_i\}}[/mm] fuer alle n [mm] \in \IN, a_i \in \IR [/mm] , i=1,...,n, [mm] A_i \in \mathcal{A}, [/mm] i=1,...n und [mm] \summe_{i=1}^{n}A_i [/mm] = [mm] \Omega
[/mm]
Fragen:
1. Die [mm] A_i [/mm] sind hier disjunkt, oder? Es kann also höchstens ein [mm] A_i [/mm] eintreten, die Summe besteht dann also aus einem [mm] a_i [/mm] und (n-1) mal 0 als Summanden. Oder bin ich da voll falsch?
2. Wie kann man einsehen dass die angegeben "Funktionenbauart" zwingend ist wenn die Funktion [mm] \in \xi (\Omega, \mathcal{A}) [/mm] sein soll?
vielen Dank für eure Hilfe
gruß
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Hallo,
> Hallo,
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> [mm](\Omega,\mathcal{A}), \quad \xi (\Omega, \mathcal{A})=\{f:\Omega \to \IR | f(\omega)\quad ist \quad endlich, \quad f \quad ist \quad messbar\}[/mm]
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> [mm]f \in \xi (\Omega, \mathcal{A}) \gdw f = \summe_{i=1}^{n}a_i 1_{\{A_i\}}[/mm]
> fuer alle n [mm]\in \IN, a_i \in \IR[/mm] , i=1,...,n, [mm]A_i \in \mathcal{A},[/mm]
> i=1,...n und [mm]\summe_{i=1}^{n}A_i[/mm] = [mm]\Omega[/mm]
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> Fragen:
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> 1. Die [mm]A_i[/mm] sind hier disjunkt, oder? Es kann also höchstens
> ein [mm]A_i[/mm] eintreten, die Summe besteht dann also aus einem
> [mm]a_i[/mm] und (n-1) mal 0 als Summanden. Oder bin ich da voll
> falsch?
Im Gegenteil, du bist vollkommen richtig. Die [mm] A_{i} [/mm] sind als Zerlegung von [mm] \Omega [/mm] disjunkt. Aber: Nicht die [mm] A_{i} [/mm] treten ein, sondern ein w [mm] \in \Omega, [/mm] was aber in [mm] A_{i} [/mm] liegt.
> 2. Wie kann man einsehen dass die angegeben
> "Funktionenbauart" zwingend ist wenn die Funktion [mm]\in \xi (\Omega, \mathcal{A})[/mm]
> sein soll?
Naja, dass ist ja die Behauptung und die muss man beweisen. Geben wir also mal einfach ein f wie oben vor. Dann hat f einen endlichen Wertevorrat, z.B. { [mm] \alpha_{1}, [/mm] .. , [mm] \alpha_{n} [/mm] }. Da f messbar ist, folgt nun [mm] f^{-1}({\alpha_{i}}) [/mm] = [mm] A_{i} [/mm] = {w [mm] \in \Omega [/mm] | f(w) = [mm] \alpha_{i} [/mm] }. Macht man das für jedes [mm] \alpha_{i}, [/mm] dann entsteht eine Zerlegung von [mm] \Omega [/mm] und deshalb kannst du f wie oben angegeben (und von dir richtig erkannt mit den n-1 Nullen) definieren. Das wäre die --> Richtung.
Bleibt die andere Richtung, die ist aber trivial, denn wenn man sich eine Zerlegung von [mm] \Omega [/mm] vorgibt zusammen mit nicht-negativen Zahlen [mm] \alpha_{1}, [/mm] ..., [mm] \alpha_{i}, [/mm] dann ist dadaurch schon eine Funktion nach deiner Def. definiert.
Ich hoffe, dass hilft.
Steffen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:51 Sa 22.11.2008 | | Autor: | vivo |
Vielen Dank !
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