Menge mit Maß Epsilon < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Sa 29.10.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
angenommen ich habe [mm] $\epsilon \in [/mm] (0,1) $ und will eine offene Menge $ G [mm] \subset [/mm] [0,1] $ konstruieren, die dicht in [0,1] liegt mit der Eigenschaft, dass [mm] $\mu [/mm] (G) [mm] =\epsilon [/mm] $. Jetzt habe ich den Tipp hier ähnlich zu verfahren wie bei der Konstruktion der Cantormenge, allerdings verstehe ich nicht ganz wie ich bei dieser Konstruktion vorgehen soll. Hättet ihr einen Tipp?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Sa 29.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Reynir!
Die "gewöhnliche" Cantormenge ist eine abgeschlossene Teilmenge von $[0,1]$.
Somit ist ihr Komplement in $[0,1]$ offen in $[0,1]$.
Außerdem ist dieses Komplement dicht in $[0,1]$, wie man sich überlegen kann.
Indem du die Intervalllängen der Intervalle variierst, die bei der Konstruktion der Cantormenge sukzessive vom Intervall $[0,1]$ entfernt werden, kannst du andere abgeschlossene Teilmengen von $[0,1]$ konstruieren, deren Komplement in $[0,1]$ offen und dicht ist.
Vielleicht dient dir die "fette Cantormenge", wie sie ![[]](/images/popup.gif) auf diesem Übungsblatt vor Aufgabe 2b) beschrieben ist, als Inspiration.
Statt im n-ten Schritt Intervalle der Länge [mm] $(\frac{1}{3})^n$ [/mm] (im Falle der Cantormenge) bzw. Intervalle der Länge [mm] $(\frac{1}{4})^n$ [/mm] (im Falle der fetten Cantormenge) zu entfernen, kannst du Intervalle der Länge [mm] $\delta^n$ [/mm] für ein beliebiges festes [mm] $\delta\in(0,\frac{1}{3}]$ [/mm] entfernen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 So 30.10.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
ich werde darüber nachdenken und melde mich.
Viele Grüße,
Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mo 31.10.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
ich hätte jetzt noch eine Frage, ich habe mir jetzt überlegt folgende Menge [mm] $\tilde [/mm] {C} $ zu nehmen, die Maß [mm] $\epsilon$ [/mm] hat. Man nimmt dasselbe Intervall, wie zur Konstruktion der Cantor-Menge, allerdings nimmt man als Länge der Intervalle, die man aus dem „Mittelteil" der abgeschlossenen Intervalle herausschneidet, [mm] $\frac {\epsilon} {3^n} [/mm] $. Hierbei gilt, wenn $ A _ n$ die Menge nach der n-ten Ausführung der Konstruktionsvorgänge ist, dass $ A _ n: = A _ [mm] {n-1}\backslash\{2^{n-1}\text{offene Intervalle der Länge}\frac {\epsilon} {3^n}\} [/mm] $, damit wäre [mm] $\tilde [/mm] {C}: = [mm] \cap [/mm] _ {n = [mm] 1}^\infty A_n$. [/mm] Dann würde speziell für $ [mm] (\Tilde{C})^c$ [/mm] gelten, dass das Maß hiervon [mm] $\sum [/mm] _ {n = [mm] 1}^\infty [/mm] 2^ {n-1} [mm] \frac {\epsilon} {3^n} =\epsilon$, [/mm] zudem würde analog zu der Cantor-Menge Gelten, dass das Komplement offen in [0,1] ist.
Will man nun zeigen, dass das dicht ist wäre zu zeigen: [mm] $\overline {\tilde {C}^c} [/mm] $ = [0,1]. Hierzu würde es schon genügen, wenn man sähe, dass in [mm] $\tilde [/mm] {C} $ nur Randpunkte der Intervalle im Komplement sind. Allerdings bin ich hier an 2 Stellen unsicher:
1. Bleiben eigentlich nur die Randpunkte übrig? Ich nehme an ja, aber formal zeigen könnte ich es nicht.
2. Wie zeige ich dann, dass nur die Randpunkte übrig bleiben falls sie übrig bleiben?
Wenn ich dann dies habe und für einige kriege ich [0,1] raus.
Hättest du da einen Tipp?
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 Mo 31.10.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
ich wollte anmerken, da mir auffiel, dass Mittelteil nicht wirklich aussagekräftig ist, wie ich das genauer meinte. Angenommen man will aus [0,1] den „Mittelteil“ entfernen, dann hatte ich mir das so vorgestellt:$ A _ 1: = [mm] [0,\frac{3 - \epsilon}{6}] \cup [/mm] [ [mm] \frac {3+\epsilon} [/mm] {6}, 1] $.Darauf kommt man, wenn man von 0,5 eben [mm] $\frac {\epsilon} [/mm] {6}$ nach oben und nach unten geht und dann das offene Intervall rausnimmt aus [0,1].Das ganze kann man mit jedem neuen Intervall, wie es eben bei der Cantormenge getan wird, induktiv fortsetzen, was dann die Definition der $ A _ n $ liefert.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:13 Mo 31.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Sehr schöne Idee von dir! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Deutlich einfacher als die, die ich im Kopf hatte. 
[mm] $\tilde{C}$ [/mm] besteht nicht nur aus den Randpunkten der Intervalle aus den einzelnen Konstruktionsschritten.
Von diesen Randpunkten gibt es nur abzählbar viele, während [mm] $\tilde{C}$ [/mm] überabzählbar ist.
Sei [mm] $G:=[0,1]\setminus\tilde{C}$.
[/mm]
Zum Nachweis von [mm] $\overline{G}=[0,1]$ [/mm] sei [mm] $x\in[0,1]$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $x\in\overline{G}$.
[/mm]
Falls [mm] $x\in [/mm] G$, ist dies klar.
Sei daher nun [mm] $x\notin [/mm] G$, also [mm] $x\in\tilde{C}$.
[/mm]
Um [mm] $x\in\overline{G}$ [/mm] zu zeigen, genügt es, eine Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] von Elementen [mm] $x_n\in [/mm] G$ zu finden, die gegen x konvergiert.
Grobe Idee dazu:
Starte z.B. mit [mm] $x_1$ [/mm] aus dem "mittleren offenen Intervall, dass im ersten Schritt aus [0,1] weggewischt wird".
Wähle dann [mm] $x_2$ [/mm] aus einem der beiden Intervalle, die "im zweiten Schritt weggewischt werden", und zwar aus dem linken oder rechten weggewischten, je nachdem ob x links oder rechts vom im ersten Schritt weggewischten Intervall liegt.
Wähle dann [mm] $x_3$ [/mm] aus einem der vier Intervalle, die "im dritten Schritt weggewischt werden", und zwar "passend zur Lage von x".
Zur präziseren Umsetzung dieser Idee schreibe ich später eine Antwort, wenn du dies wünschst.
Dazu müsste ich etwas ausholen und etwas formaler die Intervalle benennen, die "weggewischt werden bzw. übrig bleiben".
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Sa 05.11.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo Tobit,
ich entschuldige mich ersteinmal, dass ich mich eine geraume Zeit nicht gemeldet habe, aber ich musste leider diese Woche viel arbeiten und hatte deswegen keine Zeit.
Mich würde interessieren wie man dieses Konstruieren der Folge formalisieren kann, da ich mit der Lage des Wertes den ich als Folgenglied wählen will, nicht ganz durchblicke. Konkret würde das heißen, wie kann ich das Folgenglied/die Folge formalisieren ausgehend von einem Startpunkt (?)? Ich danke dir für deine sehr ausführliche Hilfe.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 So 06.11.2016 | | Autor: | tobit09 |
Kein Problem.
Hier nun die formale Version. Mach dir am besten durch Bildchen für kleine n klar, was hier passiert.
1. Schritt: Benennung der Intervalle
Gegeben ein abgeschlossenes Intervall $I=[a,b]$ mit [mm] $a,b\in\IR$, [/mm] a<b, der Breite $d:=b-a$ mit Intervallmittelpunkt [mm] $c:=\frac{a+b}{2}\in [/mm] I$ und ein [mm] $\gamma\in(0,d)$ [/mm] ("Breite des mittleren Teilintervalls") definieren wir drei Teilintervalle [mm] $I_{l,\gamma}$ [/mm] (l wie links), [mm] $I_{m,\gamma}$ [/mm] (m wie Mitte) und [mm] $I_{r,\gamma}$ [/mm] (r wie rechts);
[mm] $I_{l,\gamma}:=[a\;;\;c-\frac{\gamma}{2}]$
[/mm]
[mm] $I_{m,\gamma}:=(c-\frac{\gamma}{2}\;;\;c+\frac{\gamma}{2})$
[/mm]
[mm] $I_{r,\gamma}:=[c+\frac{\gamma}{2}\;;\;b]$.
[/mm]
Dann sind diese drei Teilintervalle alle nichtleer und I ist die disjunkte Vereinigung dieser drei Teilintervalle. Die beiden äußeren Teilintervalle [mm] $I_{l,\gamma}$ [/mm] und [mm] $I_{r,\gamma}$ [/mm] haben jeweils eine Breite von [mm] $\frac{d-\gamma}{2}$.
[/mm]
Diese Aufteilungen wollen wir nun startend mit $[0,1]$ iteriert vornehmen:
Formal definieren wir dazu rekursiv eine Folge von Indexmengen [mm] $K_n$, $n\in\IN_0$ [/mm] und abgeschlossene Intervalle [mm] $I_k\subseteq[0,1]$ [/mm] (mit Breite [mm] $\ge\frac{1}{3^n}$) [/mm] für [mm] $k\in K_n$.
[/mm]
(Später wird [mm] $A_n$ [/mm] die Vereinigung der abgeschlossenen Intervalle [mm] $I_k$, $k\in K_n$ [/mm] sein.)
Wir starten mit [mm] $K_0=\{\*\}$ [/mm] irgendeine einelementige Menge und [mm] $I_{\*}:=[0,1]$. [/mm] Die Intervallbreite ist wie gewünscht [mm] $1\ge \frac{1}{3^0}$.
[/mm]
Seien nun für ein [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] die Menge [mm] $K_n$ [/mm] und die Intervalle [mm] $I_k$ [/mm] für alle [mm] $k\in K_n$ [/mm] konstruiert.
Dann sei
[mm] $K_{n+1}:=\{(k,l)\;|\;k\in K_n\}\cup\{(k,r)\;|\;k\in K_n\}$.
[/mm]
Zur Konstruktion der Intervalle [mm] $I_\tilde{k}$ [/mm] für [mm] $\tilde{k}\in K_{n+1}$ [/mm] sei [mm] $k\in K_n$.
[/mm]
Das Intervall [mm] $I_k$ [/mm] habe Breite [mm] $d\ge\frac{1}{3^n}$. [/mm] Seien [mm] $\gamma:=\frac{\epsilon}{3^{n+1}}\in(0,d)$ [/mm] und
[mm] $I_{(k,l)}:=(I_k)_{l,\gamma}$
[/mm]
[mm] $I_{(k,r)}:=(I_k)_{r,\gamma}$.
[/mm]
Die Intervalle [mm] $I_{(k,l)}$ [/mm] und [mm] $I_{(k,r)}$ [/mm] haben dann jeweils Breite [mm] $\frac{d-\gamma}{2}\ge\frac{\frac{1}{3^n}-\frac{1}{3^{n+1}}}{2}=\frac{\frac{3-1}{3^{n+1}}}{2}=\frac{1}{3^{n+1}}$.
[/mm]
Damit ist unsere rekursive Definition abgeschlossen.
Per Induktion prüft man nach, dass für jedes [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] gilt:
Für jedes [mm] $k\in K_n$ [/mm] erfüllt die Breite d des Intervalls [mm] $I_k$ [/mm] die Ungleichung [mm] $d\le\frac{1}{2^n}$. [/mm] (*)
Sind [mm] $k,k'\in K_n$ [/mm] mit [mm] $k\not=k'$, [/mm] so sind [mm] $I_k$ [/mm] und [mm] $I_{k'}$ [/mm] disjunkt. (**)
Schließlich sei für [mm] $k\in K_n$
[/mm]
[mm] $I_{(k,m)}:=(I_k)_{l,\gamma}$ [/mm] mit [mm] $\gamma:=\frac{\epsilon}{3^{n+1}}$.
[/mm]
Somit ist das Intervall [mm] $I_k$ [/mm] die disjunkte Vereinigung der drei Teilintervalle [mm] $I_{(k,l)}$, $I_{(k,m)}$ [/mm] und [mm] $I_{(k,r)}$.
[/mm]
Damit sind alle Intervalle zur Beschreibung der Mengen [mm] $A_n$ [/mm] für [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] sowie von [mm] $\tilde{C}$ [/mm] und $G$ konstruiert.
2. Schritt: Formale Definition/Beschreibung von [mm] $A_n$, $\tilde{C}$ [/mm] und G
Hier gibt es mehrere Möglichkeiten, welche Beschreibung man als Definition dieser Mengen wählt. Eine Möglichkeit:
Wir definieren
[mm] $A_n:=\bigcup_{k\in K_n}I_k$
[/mm]
für alle [mm] $k\in K_n$.
[/mm]
(Mache dir wie gesagt am besten für kleine n durch ein Bildchen klar, dass damit genau die von dir beabsichtigten Mengen [mm] $A_n$ [/mm] beschrieben werden.)
Sei dann, wie von dir bereits geschrieben, [mm] $\tilde{C}:=\bigcap_{n\in\IN_0}A_n$ [/mm] und [mm] $G:=[0,1]\setminus\tilde{C}$.
[/mm]
3. Schritt: Konstruktion der Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
Sei [mm] $x\in\tilde{C}$. [/mm] Für jedes [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] gilt dann [mm] $x\in A_n$, [/mm] d.h. es existiert ein [mm] $k_n\in K_n$ [/mm] mit [mm] $x\in I_{k_n}$.
[/mm]
Wir wählen jeweils einen beliebigen Punkt [mm] $x_n\in I_{(k_n,m)}$. [/mm] Das geht, weil das Intervall [mm] $I_{(k_n,m)}$ [/mm] nicht leer ist.
Warum gilt wie gewünscht [mm] $x_n\in [/mm] G$, also [mm] $x_n\notin\tilde{C}$?
[/mm]
Angenommen [mm] $x_n\in\tilde{C}$.
[/mm]
Dann wäre insbesondere [mm] $x_n\in A_{n+1}$, [/mm] d.h. es gibt ein [mm] $k\in K_{n+1}$ [/mm] mit [mm] $x_n\in I_k$. [/mm] Nach Konstruktion von [mm] $K_{n+1}$ [/mm] gibt es ein [mm] $k'\in K_n$ [/mm] und ein [mm] $i\in\{l,r\}$ [/mm] mit $k=(k',i)$.
Nun ist [mm] $x_n\in I_k=I_{(k',i)}\subseteq I_{k'}$ [/mm] und [mm] $x_n\in I_{(k_n,m)}\subseteq I_{k_n}$, [/mm] also muss nach (**) gelten: [mm] $k'=k_n$ [/mm] (denn sonst wären [mm] $I_{k'}$ [/mm] und [mm] $I_{k_n}$ [/mm] disjunkt).
Daher ist [mm] $x_n\in I_{(k_n,i)}$ [/mm] und [mm] $x_n\in I_{(k_n,m)}$ [/mm] im Widerspruch dazu, dass [mm] $I_{k_n}$ [/mm] die DISJUNKTE Vereinigung von [mm] $I_{(k_n,l)}$, $I_{(k_n,m)}$ [/mm] und [mm] $I_{(k_n,r)}$ [/mm] ist.
Also doch [mm] $x_n\in [/mm] G$.
4. Schritt: Nachweis der Konvergenz der Folge [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gegen x
Für jedes [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] gilt: [mm] $x_n,x\in I_{k_n}$.
[/mm]
Sei $d$ die Intervallbreite von [mm] $I_{k_n}$.
[/mm]
Dann gilt unter Verwendung von (*): [mm] $|x_n-x|\le d\le\frac{1}{2^n}$.
[/mm]
Daraus kann man mithilfe von [mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0$ [/mm] auf verschiedene Arten folgern: [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=x$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 Mo 07.11.2016 | | Autor: | Reynir |
Vielen Dank Tobit für deine Erklärung, das hat mich weitergebracht. :)
Viele Grüße,
Reynir
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