Menge und Ebene < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Di 30.10.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Gegen sei die Menge [mm] U=\{(x,y,z)\in R³ | (x+y+2z)(x+y-z)=0\} [/mm] und die Ebene [mm] E=\{(x,y,z)\in R³ : x+y-z=1 \}.
[/mm]
a) Ist U eine Ebene? Ist der Schnitt von U mit E eine Ebene? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Sei F die Menge aller Punkte (x,y,z) /in R³, für die z²=0 ist. Ist F eine Ebene? Berechnen Sie die Schnitte U [mm] \cap [/mm] F, F [mm] \cap [/mm] E und F [mm] \cap [/mm] U [mm] \cap [/mm] E. Geben Sie an, ob es sich jeweils um eine Ebene oder eine Gerade handelt. Begründen Sie jeweils Ihre Antwort. |
Schönen guten Abend Leute,
ich hab mir zu Aufgabe 2a) schon meine eigenen Gedanken gemacht und würde gerne eure Kommentare dazu wissen:
U ist keine Ebene, sondern eine Menge, die 2 Ebenen vereinigt, nämilch x+y+2z und x+y-z.
Für den Schnitt von U mit E hätte ich jetzt die beiden Ebenen aus U ausmultipliziert und eine Gleichung 2ten Grades erhalten. Was genau würde ich denn ausrechnen, wenn ich beides gleichsetze? Die Schnittmenge zwischen der Ebene E und der Menge U ?
das soll erstmal genügen.
Hoffe auf konstruktive Kritik.
mfg, zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegen sei die Menge [mm]U=\{(x,y,z)\in R³ | (x+y+2z)(x+y-z)=0\}[/mm]
> und die Ebene [mm]E=\{(x,y,z)\in R³ : x+y-z=1 \}.[/mm]
>
> a) Ist U eine Ebene? Ist der Schnitt von U mit E eine
> Ebene? Begründen Sie Ihre Antwort.
>
> b) Sei F die Menge aller Punkte (x,y,z) /in R³, für die
> z²=0 ist. Ist F eine Ebene? Berechnen Sie die Schnitte U
> [mm]\cap[/mm] F, F [mm]\cap[/mm] E und F [mm]\cap[/mm] U [mm]\cap[/mm] E. Geben Sie an, ob es
> sich jeweils um eine Ebene oder eine Gerade handelt.
> Begründen Sie jeweils Ihre Antwort.
> Schönen guten Abend Leute,
ich beantworte einfach mal nur direkt Deine Fragen.
> ich hab mir zu Aufgabe 2a) schon meine eigenen Gedanken
> gemacht und würde gerne eure Kommentare dazu wissen:
>
> U ist keine Ebene, sondern eine Menge, die 2 Ebenen
> vereinigt, nämilch x+y+2z und x+y-z.
1.) diese beiden "Ebenen" am Ende machen keinen Sinn:
Was soll denn [mm] $F:=\{(x,y,z) \in \IR^3: x+y+2z\} \subseteq \IR^3$ [/mm] sein,
wenn nicht ganz [mm] $\IR^3$? [/mm] Ein Element $(r,s,t) [mm] \in \IR^3$ [/mm] ist genau dann
in [mm] $F\,,$ [/mm] wenn es erfüllt
[mm] $$r+s+2t\,,$$
[/mm]
da steht also keine Forderung - sozusagen eine "leere Bedingung"!
2.) Selbst, wenn Du das korrigierst und nun zwei Ebenen [mm] $E_1$ [/mm] und
[mm] $E_2$ [/mm] hinschreibst, von denen Du behauptest, dass gilt
[mm] $$E_1 \cup E_2=U\,,$$
[/mm]
dann reicht es nicht, dies nur zu behaupten - diese Mengengleichheit
muss bewiesen werden!
> Für den Schnitt von U mit E hätte ich jetzt die beiden
> Ebenen aus U ausmultipliziert und eine Gleichung 2ten
> Grades erhalten.
? Eine Element $(r,s,t) [mm] \in \IR^3$ [/mm] gehört genau dann zu $U [mm] \cap E\,,$ [/mm] wenn
es
zum einen die [mm] $U\,$ [/mm] charakterisierende Eigenschaft(en) erfüllt:
$(r+s+2t)*(r+s-t)=0$
UND es
zum anderen die [mm] $E\,$ [/mm] charakterisierende Eigenschaft(en) efüllt:
[mm] $r+s-t=1\,.$
[/mm]
Benutzt man das, so sieht man, dass jedenfalls der Schnitt von [mm] $U\,$
[/mm]
mit [mm] $E\,$ [/mm] eine Teilmenge der folgenden Ursprungsebene sein muss:
[mm] $$(\*)\;\;\;\{(x,y,z) \in \IR^3:\;x+y+2z=0\}\,.$$
[/mm]
> Was genau würde ich denn ausrechnen, wenn
> ich beides gleichsetze? Die Schnittmenge zwischen der Ebene
> E und der Menge U ?
Was heißt "beides gleichsetzen"? Das ist hinreichend unspezifisch: Meinst
Du Koordinaten von Elementen, die Du gleichsetzt? Meinst Du Mengen, die
Du gleichsetzen willst? Setzt Du die rechte Seite von Gleichungen gleich?
Eigentlich ist es so:
Wenn eine Menge [mm] $\{x \in X: x \text{ hat Eigenschaft }E_1(x)\}$ [/mm] und eine
weitere Menge [mm] $\{y \in X: y \text{ hat Eigenschaft }E_2(y)\}$ [/mm] gegeben sind,
dann ist doch der Schnitt dieser beiden Mengen gerade die Menge
[mm] $$\{r \in X: r \text{ hat die Eigenschaft }E_1(r) \text{ und }r \text{ hat die Eigenschaft }E_2(r)\}\,,$$
[/mm]
direkt per Definitionem.
Weil ich aber erst vor kurzem mit jemanden (Tobi) ein "didaktisches
Problem" durchgesprochen hatte:
lies einfach hier (klick me!),
wundert es mich nicht, warum Du hier so eine Frage stellst. Das ist kein
Vorwurf an Dich, sondern es zeigt einfach genau das, was ich mal
in dieser Mitteilung
angesprochen hatte. (Lies' dort ab "Die Punkte der Ebene...")
> das soll erstmal genügen.
Ich hoffe, meines genügt auch erstmal. Ich habe übrigens bis jetzt weder
bejaht, noch verneint, dass [mm] $U\,$ [/mm] die Vereinigung zweier Ebenen ist. Ich
habe mir bis jetzt einfach noch gar keine Gedanken dazu gemacht, was
[mm] $U\,$ [/mm] überhaupt ist.
Holen wir das nach: Was man direkt sieht:
Die Ursprungsebene [mm] $\{(x,y,z) \in \IR^3: x+y+2z=0\}$ [/mm] ist Teilmenge von
[mm] $U\,$ [/mm] (warum?) und auch die Ursprungsebene [mm] $\{(x,y,z) \in \IR^3:x+y-z=0\}$ [/mm]
ist Teilmenge von [mm] $U\,$ [/mm] (warum?) - also enthält [mm] $U\,$ [/mm] auch die Vereinigung
dieser beiden Ursprungsebenen. Diese Teilmengenbeziehung gilt.
Aber alleine aus [mm] $(E_1 \cup E_2) \subseteq [/mm] U$ kannst Du noch nicht folgern,
dass auch [mm] $E_1 \cup E_2=U$ [/mm] ist - dafür bräuchtest Du noch, dass auch
$U [mm] \subseteq (E_1 \cup E_2)$ [/mm] gilt! Das ist aber einfach, wenn man sich
die [mm] $U\,$ [/mm] charakterisierende Eigenschaft anguckt und bedenkt, dass in
[mm] $\IR$ [/mm] ein Produkt genau dann verschwindet, wenn mindestens einer der
Faktoren dies tut.
Schreib's jetzt aber halt mal alles ganz sauber auf!
(Also: Sei $(x,y,z)$ irgendein Element aus [mm] $U\,.$ [/mm] Dann folgt...
... Daraus folgt $x+y+2z=0$ oder [mm] $x+y-z=0\,,$ [/mm] also $(x,y,z) [mm] \in E_1$ [/mm] oder
$(x,y,z) [mm] \in E_2\,.$ [/mm] Da $(x,y,z) [mm] \in [/mm] U$ beliebig war...)
P.S. Die eigentliche Hauptarbeit, die Dir hier noch verbleibt, ist eigentlich
nur, nochmal zu gucken, welche Ebene wohl [mm] $E_1$ [/mm] bzw. [mm] $E_2$ [/mm] heißen
soll. 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 30.10.2012 | | Autor: | zjay |
zunächst einmal vielen dank für das ausführliche kommentar. ich bin begeistert und motiviert zu verstehen, was du da alles geschrieben hast.
zu 1.) hätte ich x+y+2z=0 schreiben sollen?
hast du selbst diese "warums" hinter deine aussagen geschrieben? :O
Dann halte ich mal fest, was ich deinen ausführungen im letzten absatz entnehmen konnte:
Die Menge U ist die Vereinigung der Ebenen [mm] E1=\{(x,y,z) \in \IR3 | x+y+2z=0\} [/mm] und E2={(x,y,z) [mm] \in \IR3 [/mm] | [mm] x+y-z=0\}.
[/mm]
Jetzt nochmal als Zwischennachfrage:
Wenn es heißt "Gegeben sei die Menge $ [mm] U=\{(x,y,z)\in R3 | (x+y+2z)(x+y-z)=0\} [/mm] $ bedeutet dies noch nicht, dass U durch E1 und E2 eindeutig definiert ist, sondern nur, dass E1 und E2 Teilmengen/Eigenschaften der Menge U abbilden? (Ich hoffe, dass ich mich verständlich und vor allem präzise ausgedrückt habe).
Die erste Frage ob U eine Ebene sei wird dann vermutlich verneint, aber wir versuchen zu zeigen, dass (E1 [mm] \cup [/mm] E2) = U ist?
Wie berechnet man denn die Schnittmenge zwischen der Ebene E und der Menge U? Kann ich x+y-z=0 (E) und (x+y+2z)(x+y-z)=0 (U) gleichsetzen? (Ich hoffe, dass ich mich auch hier sauber ausgedrückt habe).
Außerdem würde ich gerne wissen, was du mit "Das ist aber einfach, wenn man sich die charakterisierende Eigenschaft anguckt und bedenkt, dass in [mm] \IR [/mm] ein Produkt genau dann verschwindet, wenn mindestens einer der
Faktoren dies tut."? Meinst du, dass gesetzt dem Fall (x+y+2z)=0 oder (x+y-z)=0 wir ganz leicht zeigen können, dass U Teilmenge von E1 [mm] \cup [/mm] E2 ist?
Ich mache mir dann schon mal Gedanken zu 2b) während ich auf Erwiderung warte.
zu 2b)
Ich kann mit dem Aufgabentext nichts anfangen -.-' "Sei F die Menge aller Punkte (x,y,z) [mm] \in [/mm] IR3, für die z²=0 ist. Ist F eine Ebene?" Wir wissen also, dass es drei Punkte x,y,z in F gibt, wobei für z²=0 gilt. Welche Schlussfolgerungen aus diesen Aussagen verschließen sich mir? Ich habe nichtmal einen Ansatz. Kann ich für [mm] F=\{(x,y,z) \in IR3 | a1x+a2x+a3x=b\} [/mm] annehmen, dass F eine Ebene ist? Aber vermutlich müsste ich erst beweisen, dass F tatsächlich eine Ebene ist oder eben keine Ebene ist ... nur wie?!
mfg zjay
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Hi,
schau einfach mal "algebraisch" und "geometrisch" auf deine Mengen. U ist die Menge der Zahlentripel $(x, y, z)$, deren Einträge $x, y$ und $z$ die besagte Gleichung $(x+y+2z)(x+y-z) = 0$ erfüllen.
Glücklicherweise ist es nun so, dass ein Produkt genau dann 0 ergibt, wenn mind. einer der Faktoren 0 ist, so dass diese Bedingung gleichwertig damit ist, wenn du zwei Gleichungen aufschreibst, nämlich
$x+y+2z = 0$
$x+y-z = 0$
Jede der Gleichungen beschreibt jetzt geometrisch eine Ebene, die nicht identisch sind, d.h. U besteht aus zwei Ebenen.
Die dritte Ebene E, beschrieben durch $x+y-z = 1$ liegt nun offensichtlich parallel zu der zweiten Ebene der beiden aus U (Normalenvektor + rechte Seite ist unterschiedlich). Also ist der Schnitt von U mit dieser Ebene E genau der Schnitt der ersten Teilebene von U mit E und das ergibt (nach kurzer Rechnung) eine Gerade.
Zur 2b)
Ich finde es auch merkwürdig [mm] $z^2 [/mm] = 0$ zu fordern, das verstehe ich nicht wirklich. Das ist ja gleichbedeutend mit $z = 0$ und dann ist die Frage wieder sehr schnell beantwortet - zu schnell, da fehlt meines Erachtens also noch was, was ich nicht sehe/erkenne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zunächst einmal vielen dank für das ausführliche
> kommentar. ich bin begeistert und motiviert zu verstehen,
> was du da alles geschrieben hast.
>
> zu 1.) hätte ich x+y+2z=0 schreiben sollen?
ja! Genaugenommen musst Du da eine MENGE (be-)schreiben!
> hast du selbst diese "warums" hinter deine aussagen
> geschrieben? :O
Ja - d.h., ich weiß, warum, aber ich erwarte, dass Du mir einen Beweis
lieferst, damit Du auch selbst das "warum" beantworten kannst!
Der Rest der Frage wird sicher eh gleich beantwortet!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:17 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> zunächst einmal vielen dank für das ausführliche
> kommentar. ich bin begeistert und motiviert zu verstehen,
> was du da alles geschrieben hast.
>
> zu 1.) hätte ich x+y+2z=0 schreiben sollen?
>
> hast du selbst diese "warums" hinter deine aussagen
> geschrieben? :O
>
> Dann halte ich mal fest, was ich deinen ausführungen im
> letzten absatz entnehmen konnte:
>
> Die Menge U ist die Vereinigung der Ebenen [mm]E1=\{(x,y,z) \in \IR3 | x+y+2z=0\}[/mm]
> und [mm] E2=$\{(x,y,z) \in \IR3 | x+y-z=0\}.$
[/mm]
ja!
> Jetzt nochmal als Zwischennachfrage:
>
> Wenn es heißt "Gegeben sei die Menge [mm]U=\{(x,y,z)\in R3 | (x+y+2z)(x+y-z)=0\}[/mm]
> bedeutet dies noch nicht, dass U durch E1 und E2 eindeutig
> definiert ist, sondern nur, dass E1 und E2
> Teilmengen/Eigenschaften der Menge U abbilden? (Ich hoffe,
> dass ich mich verständlich und vor allem präzise
> ausgedrückt habe).
Nein - es bedeutet erstmal nur, dass [mm] $U\,$ [/mm] genau die Punkte [mm] $(x,y,z)\,$ [/mm]
des [mm] $\IR^3$ [/mm] enthält, für die
$$ (x+y+2z)(x+y-z)=0$$
gilt. Wenn wir uns [mm] $U\,$ [/mm] "gedankenlos" anschauen, entnehmen wir [mm] $U\,$
[/mm]
so erstmal gar nicht, was [mm] $U\,$ [/mm] mit Ebenen zu tun haben könnte...
So ist $(1,1,1,1) [mm] \notin U\,,$ [/mm] weil $(1,1,1,1) [mm] \notin \IR^3\,.$ [/mm] Es ist aber
$$(1,1,-1) [mm] \in U\,,$$
[/mm]
weil $(1,1,-1) [mm] \in \IR^3$ [/mm] ist UND weil $(1+1+2*(-1))*(1+1-(-1))=0$
ergibt.
Es ist $(1,1,3) [mm] \notin U\,,$ [/mm] denn es ist zwar $(1,1,3) [mm] \in \IR^3\,,$ [/mm] aber
[mm] $(1+1+2*3)*(1+1-3)=8*(-1)=-8\,,$ [/mm] und es ist eben $-8 [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Und jetzt, wenn wir ein wenig "nachdenken", dann sehen wir, dass jedes
Element aus [mm] $E_1$ [/mm] eben auch in [mm] $U\,$ [/mm] liegt, weil...? (Analog für jedes
Element aus [mm] $E_2\,.$)
[/mm]
> Die erste Frage ob U eine Ebene sei wird dann vermutlich
> verneint,
Ja. Das kannst Du auch zeigen, indem Du versuchst, [mm] $U\,$ [/mm] "in
eine Ebenendarstellung" zu bringen - dafür dann notwendige Bedingungen
folgerst und dann zeigst, dass dann damit doch nicht alle Elemente aus
[mm] $U\,$ [/mm] erfasst werden. "Geometrisch" scheint das offensichtlich, ein Beweis
dazu ist dennoch zu führen!
> aber wir versuchen zu zeigen, dass (E1 [mm]\cup[/mm] E2) =
> U ist?
Ja!
> Wie berechnet man denn die Schnittmenge zwischen der Ebene
> E und der Menge U? Kann ich x+y-z=0 (E)
Wenn, da müßte hier dann [mm] $x+y-z-1=0\,$ [/mm] stehen, denn gemäß der
[mm] $E\,$ [/mm] charakterisierenden Eigenschaft muss ja $x+y-z=1$ gelten!
> und
> (x+y+2z)(x+y-z)=0 (U) gleichsetzen? (Ich hoffe, dass ich
> mich auch hier sauber ausgedrückt habe).
Naja, Du kannst, weil ja für $(x,y,z) [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] E$ eben die beiden
Gleichungen oben gelten, dann
$$(x+y+2z)(x+y-z)=x+y-z-1$$
folgern. Aber ob das was bringt, ist die andere Frage. Bedenke
doch einfach: Ein Element $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$ [/mm] gehört genau dann zum
Schnitt $U [mm] \cap E\,,$ [/mm] wenn es $x+y-z=1$ erfüllt (das bedeutet doch eben
$(x,y,z) [mm] \in [/mm] E$) und wenn es zudem $(x+y+2z)(x+y-z)=0$ erfüllt (das
bedeutet doch eben $(x,y,z) [mm] \in [/mm] U$ - beachte, dass stets $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$).
[/mm]
Damit kann man nun direkt sehen:
Setzt man $x+y-z=1$ in [mm] $(x+y+2z)*(x+y-z)=0\,$ [/mm] ein, so folgt, dass für
ein Element des Schnittes schonmal notwendig $(x+y+2z)*1=0$ gelten
muss...
> Außerdem würde ich gerne wissen, was du mit "Das ist aber
> einfach, wenn man sich die charakterisierende Eigenschaft
> anguckt und bedenkt, dass in [mm]\IR[/mm] ein Produkt genau dann
> verschwindet, wenn mindestens einer der
> Faktoren dies tut."? Meinst du, dass gesetzt dem Fall
> (x+y+2z)=0 oder (x+y-z)=0 wir ganz leicht zeigen können,
> dass U Teilmenge von E1 [mm]\cup[/mm] E2 ist?
Das wurde in der anderen Antwort geklärt, denke ich, oder?
> Ich mache mir dann schon mal Gedanken zu 2b) während ich
> auf Erwiderung warte.
>
> zu 2b)
>
> Ich kann mit dem Aufgabentext nichts anfangen -.-' "Sei F
> die Menge aller Punkte (x,y,z) [mm]\in[/mm] IR3, für die z²=0 ist.
> Ist F eine Ebene?" Wir wissen also, dass es drei Punkte
> x,y,z in F gibt, wobei für z²=0 gilt. Welche
> Schlussfolgerungen aus diesen Aussagen verschließen sich
> mir? Ich habe nichtmal einen Ansatz. Kann ich für
> [mm]F=\{(x,y,z) \in IR3 | a1x+a2x+a3x=b\}[/mm] annehmen, dass F eine
> Ebene ist? Aber vermutlich müsste ich erst beweisen, dass
> F tatsächlich eine Ebene ist oder eben keine Ebene ist ...
> nur wie?!
> mfg zjay
Da geht einiges durcheinander: Dass [mm] $F\,$ [/mm] die Menge aller $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$
[/mm]
ist mit [mm] $z^2=0$, [/mm] bedeutet doch nicht, dass $x,y,z [mm] \in [/mm] F$ mit [mm] $z^2=0$
[/mm]
sind. Das macht doch gar keinen Sinn, ein Element aus [mm] $F\,$ [/mm] ist auch ein
Element des [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
(Anders gesagt: [mm] $\textbf{x} \in [/mm] F [mm] \Rightarrow \exists [/mm] r,s,t [mm] \in \IR:\textbf{x}=(r,s,t)\,.$)
[/mm]
Was in der Aufgabe steht, bedeutet:
[mm] $$(\*)\;\;\;F=\{(x,y,z) \in \IR^3:\;z^2=0\}$$
[/mm]
oder
[mm] $$F=\{(x,y,z):\;\; x,y,z \in \IR \text{ mit }z^2=0\}\;\;\;(\subseteq \IR^3)\,.$$
[/mm]
Du sollst nun untersuchen, ob dieses [mm] $F\,$ [/mm] eine Ebene des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist...
P.S. Wie wurden bei Euch Ebenen definiert?
P.P.S. Wegen $z [mm] \in \IR$ [/mm] und [mm] $z^2=0$ [/mm] genau dann, wenn $z=0 [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
ergibt sich
[mm] $$F=\{(x,y,0):\;\;x,y \in \IR\}\;\;\;(\subseteq \IR^3)$$
[/mm]
(Beweisen wir das mal "nach - oh blöd, ich meine nun nicht die obige Menge(!) - Schema F": Ich behaupte, dass mit
[mm] $$F_1:=\{(x,y,0): \;\;x,y \in \IR\}$$
[/mm]
nun [mm] $F=F_1$ [/mm] gilt (linkerhand ist das [mm] $F\,$ [/mm] aus [mm] $(\*)$ [/mm] gemeint!):
Ist [mm] $\textbf{r} \in F\,,$ [/mm] so kann man [mm] $\textbf{r}=(x,y,z)$ [/mm] mit $x,y,z [mm] \in \IR$
[/mm]
schreiben (weil $F [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] gilt) und es gilt per Definitionem von
[mm] $F\,$ [/mm] dann [mm] $z^2=0\,.$ [/mm] Aus [mm] $z^2=0$ [/mm] folgt [mm] $z=0\,,$ [/mm] so dass [mm] $\texbf{r}=(x,y,0)\,$ [/mm] ist und damit folgt [mm] $\textbf{r} \in F_1\,.$ [/mm] Weil [mm] $\textbf{r} \in [/mm] F$
beliebig war, folgt $F [mm] \subseteq F_1\,.$
[/mm]
Sei nun umgekehrt [mm] $\textbf{s} \in F_1\,.$ [/mm] Dann gibt es $p,q [mm] \in \IR$ [/mm] so,
dass wir [mm] $\textbf{s}=(p,q,0)$ [/mm] schreiben können. Nun ist aber mit [mm] $x:=p\,,$
[/mm]
[mm] $y:=q\,$ [/mm] und [mm] $z:=0\,$ [/mm] dann [mm] $\textbf{s}=(p,q,0)=(x,y,z) \in \IR^3$ [/mm] mit
[mm] $z^2=0\,$ [/mm] erkennbar, denn es ist [mm] $0^2=0\,.$ [/mm] Weil [mm] $\textbf{s} \in F_1$
[/mm]
beliebig war, folgt [mm] $F_1 \subseteq F\,.$
[/mm]
Insgesamt [mm] $F_1 \subseteq [/mm] F [mm] \subseteq F_1\,,$ [/mm] also [mm] $F=F_1\,.$)
[/mm]
Ist das eine Ebene, oder ist das keine?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Di 30.10.2012 | | Autor: | zjay |
Wir hatten 2 Definitionen für Ebenen:
E=Stützvektor u + [mm] \IR [/mm] * Spannvektor v + [mm] \IR [/mm] * Spannvektor w [mm] \subseteq \IR3-Ebene, [/mm] dann heißt ein Vektor n [mm] \in \IR3 [/mm] mit Vektor n * ( Vektor x- Vektor u) = 0 für alle x [mm] \in [/mm] E und Norm von Vektor n =1 ein Einheitsnormalenvektor.
Eine Teilmenge E [mm] \subset \IR3 [/mm] heißt Ebene, wenn es a1,a2,a3, b [mm] \in \IR [/mm] mit (a1,a2,a3) [mm] \not= [/mm] (0,0,0) gibt, so dass
[mm] E=\{(x1,x2,x3) \in \IR3 | a1x1+a2x2+a3x3=b \}
[/mm]
Mit der ersten Definition kann ich relativ wenig anfangen.
Zu deiner ersten Frage:
Und jetzt, wenn wir ein wenig "nachdenken", dann sehen wir, dass jedes
Element aus E1 eben auch in U liegt, weil...? (Analog für jedes
Element aus E2) ...
.. weil wir von der Aussage (E1 [mm] \cup [/mm] E2) = U ausgehen und sowohl E1=0, als auch E2=0 die Bedingung (x+y+2z)(x+y-z)=0 erfüllen und zugleich Element von R3 sind.
Aber jetzt les ich mir erstmal deine Ausführungen genauer durch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wir hatten 2 Definitionen für Ebenen:
>
> E=Stützvektor u + [mm]\IR[/mm] * Spannvektor v + [mm]\IR[/mm] * Spannvektor
> w [mm]\subseteq \IR3-Ebene,[/mm] dann heißt ein Vektor n [mm]\in \IR3[/mm]
> mit Vektor n * ( Vektor x- Vektor u) = 0 für alle x [mm]\in[/mm] E
> und Norm von Vektor n =1 ein Einheitsnormalenvektor.
>
> und
>
> Eine Teilmenge E [mm]\subset \IR3[/mm] heißt Ebene, wenn es
> a1,a2,a3, b [mm]\in \IR[/mm] mit (a1,a2,a3) [mm]\not=[/mm] (0,0,0) gibt, so
> dass
>
> [mm]E=\{(x1,x2,x3) \in \IR3 | a1x1+a2x2+a3x3=b \}[/mm]
>
> Mit der ersten Definition kann ich relativ wenig anfangen.
warum? Sie ist eigentlich die anschaulichere: Es sollte aber irgendwo
dabei stehen, dass die Spannvektoren linear UNabhängig sind.
Kennst Du nicht das, was man in der analytischen Geometrie der Schule
macht:
![[]](/images/popup.gif) Parameterdarstellungen von Ebenen?
Nichts anderes steht da. Und jetzt lies Dir mal den Thread auch durch, den
ich bei meiner ersten Antwort verlinkt hatte.
Was man vielleicht dazu sagen sollte: Bei Euch bedeutet für [mm] $\textbf{u} \in \IR^3$ [/mm] die Notation
[mm] $$\IR*\textbf{u}$$
[/mm]
nichts anderes als
[mm] $$\{r*\textbf{u}:\;\;r \in \IR\}\,.$$
[/mm]
Ich kann Dir auch alles definieren, was bei Euch in der
Parameterdarstellung eigentlich gemeint ist, also auch, was die Summe da
bedeutet - sinnvoller ist es aber, Du schlägst das selbst nach und machst
Dir das klar!
> Aber jetzt les ich mir erstmal deine Ausführungen genauer
> durch.
Gerne. 
P.S. Bei der zweiten Darstellung gibt's auch eine Bezeichnung, die Du aus
der Schule kennen solltest - wie nennt man diese Ebenendarstellung?
Habt ihr denn bewiesen, dass die beiden Darstellungen äquivalent sind,
also dass man jede Ebene, die in der ersten Darstellung vorliegt, in die
zweite Form gebracht werden kann und umgekehrt?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Di 30.10.2012 | | Autor: | zjay |
Okay, dann schau ich mir die erste Definition besser nochmal genau an.
Nein, uns wurde in der Uni bewusst nicht gezeigt wie man von der Koordinatendarstellung in die Parameterdarstellung gelangt, denn dies ist Aufgabe 4 unseres Übungszettels:
Beweisen Sie, ausgehend von der Definition einer Ebene in der Vorlesung, dass es zu jeder Ebene E drei Vektoren Vektor u,v,w (v,w [mm] \not= [/mm] =) gibt, so dass E eine Darstellung der Form E=Stützvektor u + [mm] \IR [/mm] * Spannvektor v + [mm] \IR [/mm] * Spannvektor w besitzt.
Hinweis: Folgen Sie dem Beweis von Satz 2.1 der Vorlesung.
Da hatte ich mir auch einige Gedanken zu gemacht, weiß, dass ich eine Parametrisierung vornehmen muss und irgendwie zeigen soll, dass E=E1 ist. Dabei soll E Teilmenge von E1 sein und E1 Teilmenge von E. Zumindest sind wir bei der Parametrisierung der Geradengleichung so vorgangen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:30 Di 30.10.2012 | | Autor: | zjay |
PS : zu 2a) bedeutet unsere Bedingung (x+y+2z)*1=0, dass wir nun doch eine Schnittebene haben? Würde mich jetzt wundern. Bisher bin ich die ganze Zeit davon ausgegangen, dass wir höchstens eine Schnittgerade hätten. Von daher kratz ich mich gerad am Kopf, aber für mich sieht x+y+2z=0 wie die Koordinatenform einer Ebene aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> PS : zu 2a) bedeutet unsere Bedingung (x+y+2z)*1=0, dass
> wir nun doch eine Schnittebene haben?
jetzt denke doch mal bitte einfach mengentheoretisch:
Wir haben gesagt: Wenn $(x,y,z) [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] E$ gilt, dann folgt,
dass
EINERSEITS $(x+y+2z)*(x+y-z)=0$
als auch
ANDERERSEITS [mm] $x+y-z=1\,$
[/mm]
gelten muss. Daraus folgt, dass für alle $(x,y,z) [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] E$
dann insbesondere gelten muss, dass
[mm] $$(x+y+2z)*1=0\,$$
[/mm]
gelten muss. Soweit hast Du das ja verstanden, denke ich.
Und das ganze besagt doch nun NUR
$$(U [mm] \cap [/mm] E) [mm] \subseteq \{(r,s,t) \in \IR^3:\;\;r+s+2t=0\}\,.$$
[/mm]
Du machst nun wieder den gleichen Fehler: Obwohl wir so NUR
die eine Teilmengenbeziehung $(U [mm] \cap E)\;\red{ \subseteq\;} \{(r,s,t) \in \IR^3:\;\;r+s+2t=0\}$
[/mm]
folgern können, willst Du direkt das [mm] $\red{\subseteq}$ [/mm] als [mm] $=\,$ [/mm] deuten,
obwohl wir uns noch an keiner Stelle Gedanken über den Wahrheitsgehalt
der Teilmengenbeziehung
$$(U [mm] \cap E)\;\red{ \supseteq\;} \{(r,s,t) \in \IR^3:\;\;r+s+2t=0\}$$
[/mm]
gemacht haben.
> Würde mich jetzt
> wundern. Bisher bin ich die ganze Zeit davon ausgegangen,
> dass wir höchstens eine Schnittgerade hätten. Von daher
> kratz ich mich gerad am Kopf, aber für mich sieht x+y+2z=0
> wie die Koordinatenform einer Ebene aus.
Nunja: Es liegen halt schon sehr viele Ursprungsgeraden in einer
Ursprungsebene...
P.S. Nochmal: Für Mengen [mm] $A,B\,$ [/mm] gilt [mm] $A=B\,$ [/mm] DANN UND NUR DANN, wenn
SOWOHL $A [mm] \subseteq [/mm] B$ ALS AUCH $A [mm] \supseteq [/mm] B$ erkannt wurden.
Wenn man nur $A [mm] \subseteq [/mm] B$ begründet, kann man nicht ohne weiteres
auch direkt [mm] $A=B\,$ [/mm] folgern... (So denkst Du hier aber STÄNDIG!)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:24 Mi 31.10.2012 | | Autor: | zjay |
Okay, dann ruder ich jetzt mal zurück, trinke ne tasse tee und versuche nicht zu irgendwelchen aberwitzigen schlüssen zu springen.
Dann würde ich jetzt gerne wissen wie ich die Bedingung (x+y+2z)*1=0 verwerten kann.
Ich hätte jetzt ein LGS aus (x+y+2z)=0 und (x+y-z)=1 aufgestellt und die Schnittgerade zwischen diesen beiden Ebenen berechnet. Anschließend hätte ich gezeigt, dass die dritte Ebene x+y-z=0 sich mit dieser Schnittgerade nicht schneidet, da sie parallel zu der einen Ebene ist.
Eine Frage:
Zu 2b)
Wenn z =0 ist, spannen x,y /in /IR3 nicht die x1, x2 Ebene auf?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:32 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
nicht böse sein - aber ich brauche gerade eine Pause. Wenn Dir bis morgen
niemand geantwortet hat - wovon ich allerdings nicht ausgehe - und ich
dann die Zeit finde, besprechen wir die Aufgabe weiter. Okay?
Manchmal brauche auch ich 'nen "Break". Aber keine Angst: Das hat nichts
damit zu tun, dass Du nervst oder sowas. Ich muss nur auch eh langsam
mal ins Bett!
Grüße und vermutlich gleich Gute N8,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:40 Mi 31.10.2012 | | Autor: | zjay |
klar, kein problem.
danke für die hilfe bisher. gdn8
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 Mi 31.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Okay, dann ruder ich jetzt mal zurück, trinke ne tasse tee
> und versuche nicht zu irgendwelchen aberwitzigen schlüssen
> zu springen.
>
> Dann würde ich jetzt gerne wissen wie ich die Bedingung
> (x+y+2z)*1=0 verwerten kann.
da steht doch nun immer nur noch:
$$U [mm] \cap [/mm] E [mm] \subseteq \{(x,y,z): x+y+2z=0\}\,.$$
[/mm]
Mehr verwertet haben wir das doch gar nicht.
> Ich hätte jetzt ein LGS aus (x+y+2z)=0 und (x+y-z)=1
> aufgestellt
Das ist ja auch gut, denn nun denkst Du weiter:
Für alle Punkte $(x,y,z) [mm] \in [/mm] U [mm] \cap [/mm] E$ gelten
1.) $(x+y+2z)*(x+y-z)=0$
und
2.) [mm] $x+y-z=1\,.$
[/mm]
Setzt man 2.) in 1.) ein, so folgt, dass auch
1.') [mm] $x+y+2z=0\,.$
[/mm]
und
2.) [mm] $x+y-z=1\,$
[/mm]
gelten!
> und die Schnittgerade zwischen diesen beiden
> Ebenen berechnet.
Also folgt [mm] $z=-1/3\,,$ [/mm] und damit folgt (überlege Dir das)
$$U [mm] \cap [/mm] E [mm] \subseteq \{(r,2/3-r,-1/3): r \in \IR\}\,.$$ [/mm]
(Jetzt wissen wir schonmal mehr: Oben hatten wir nur begründet, dass
$$U [mm] \cap [/mm] E [mm] \subseteq \{(x,y,z): x+y+2z=0\}\,,$$
[/mm]
und jetzt wissen wir sogar
$$U [mm] \cap [/mm] E [mm] \subseteq \{(r,2/3-r,-1/3): r \in \IR\}\,.$$ [/mm]
Das letztstehende ist mehr, weil Du Dir klar machen kannst:
$$ [mm] \{(r,2/3-r,-1/3): r \in \IR\} \subseteq \{(x,y,z): x+y+2z=0\}\,.$$)
[/mm]
(Zudem sieht man an der Darstellung
[mm] $$\{(r,2/3-r,-1/3): r \in \IR\}=\{(0,\;2/3,\;-1/3)+r*(1,\;-1,\;0):\;\;r \in \IR\}=(0,\;2/3,\;-1/3)+\IR*(1,\;-1,\;0)$$
[/mm]
dass es sich bei dieser Menge um eine Gerade des [mm] $\IR^3$ [/mm] handelt (die
NICHT durch den Ursprung geht!))
> Anschließend hätte ich gezeigt, dass
> die dritte Ebene x+y-z=0
Du hast immer noch nicht die Diskussion gelesen, die ich in meiner ersten
Antwort verlinkt hatte, oder?
Die Ebene ist nicht [mm] $x+y-z=0\,,$ [/mm] sondern diese Gleichung charakterisiert
die Punkte $(x,y,z) [mm] \in \IR^3$ [/mm] der Ebene.
Genauer: Die Ebene ist
[mm] $$\{(x,y,z) \in \IR^3:\;\; x+y-z=0\}\,,$$
[/mm]
d.h. die Ebene ist die Menge aller Punkte des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] so dass die
Summe aus der ersten mit der zweiten und dem negativen der dritten
Koordinate Null ergibt!
> sich mit dieser Schnittgerade
> nicht schneidet, da sie parallel zu der einen Ebene ist.
Bei welchem Aufgabenteil bist Du denn nun? Ich dachte, es geht nur
um die Berechnung von $U [mm] \cap E\,.$ [/mm] Wir wissen jetzt immerhin schon
$$U [mm] \cap [/mm] E [mm] \subseteq \{(r,2/3-r,-1/3): r \in \IR\}\,,$$
[/mm]
ob da auch Gleichheit gilt, das solltest Du nun langsam wissen, was Du zu
tun hast, wenn Du das beweisen willst!
> Eine Frage:
>
> Zu 2b)
>
> Wenn z =0 ist, spannen
$$x,y /in /IR3$$
Wieder der gleiche Fehler, den ich schonmal bemängelte:
$x,y [mm] \in \IR^3$ [/mm] würde heißen: Es gibt [mm] $x_1,x_2,x_3 \in \IR$ [/mm] so, dass
[mm] $x=(x_1,x_2,x_3)$ [/mm] und es gibt [mm] $y_1,y_2,y_3 \in \IR$ [/mm] so, dass
[mm] $y=(y_1,y_2,y_3)\,.$
[/mm]
> nicht die x1, x2 Ebene
> auf?
Du meinst es aber richtig:
[mm] $$\{(x,y,0):\;\;x,y \in \red{\IR}\}$$
[/mm]
ist nichts anderes als "die [mm] $x_1,x_2$-Ebene"!
[/mm]
P.S. Warum wehrst Du Dich so vehement gegen die Mengennotationen?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Fr 02.11.2012 | | Autor: | zjay |
Danke. Zu meiner Verteidigung: das war nur ne Sache, die mir während einer Vorlesung eingefallen ist. Ich habe sie dann auch notdürftig während der Vorlesung gepostet.
Den Artikel habe ich gelesen, aber mir nicht alles merken können.
Ich habe die Aufgaben bedauerlicherweise am nächsten Tag morgens schon abgegeben, sodass ich alles mehr Recht als schlecht und vermutlich mit nicht ganz korrekter Notation abgegeben habe. Deinen Post habe ich so spät leider nicht mehr gelesen.
Grüße,
Zjay
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:43 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo zjay,
> Danke. Zu meiner Verteidigung: das war nur ne Sache, die
> mir während einer Vorlesung eingefallen ist. Ich habe sie
> dann auch notdürftig während der Vorlesung gepostet.
>
> Den Artikel habe ich gelesen, aber mir nicht alles merken
> können.
>
> Ich habe die Aufgaben bedauerlicherweise am nächsten Tag
> morgens schon abgegeben, sodass ich alles mehr Recht als
> schlecht und vermutlich mit nicht ganz korrekter Notation
> abgegeben habe. Deinen Post habe ich so spät leider nicht
> mehr gelesen.
mach' Dir mal keine Sorgen - wenn die Notation nicht allzu fatal ist, solltest
Du dafür mal so mindestens ca. 50% der Aufgabe bekommen. Jedenfalls
wenn der Korrekteur ein wenig "gnädig" ist.
Aber merke Dir: Die Punkte bei den Übungsaufgaben sind eigentlich nicht
so wichtig (ja, das klingt blöd, weil es garantiert eine Mindestpunktzahl
gibt, um überhaupt an Prüfungen teilnehmen zu dürfen) - jedenfalls sollten
sie Dir persönlich nicht wichtig sein. Vielmehr solltest Du ein wenig lernen,
Dich drauf zu konzentrieren: "Was habe ich nun gelernt: 1.) Was aus
meinen Fehlern: a.) Was habe ich falsch verstanden? b.) Was habe ich
eigentlich verstanden, aber falsch notiert? Und vor allem aber
2.) Werde ich die Fehler wiederholen bzw. eine schlechte/falsche Notation
auch selbst erkennen?"
(Natürlich auch: Kann ich solche Aufgaben nun komplett alleine lösen?)
Nach und nach sollte sich ein "Gefühl" bei Dir entwickeln, wie man sauber
arbeitet, bzw. wie man vll. mal unsauber arbeitet, aber das "etwa mit
einer Randbemerkung" erklärt - nicht selten arbeitet man ja unsauber, weil
es einfach "praktisch" ist! Das ändert aber nichts daran, dass man dann
gewisse "Praktiken" auch zu erläutern hat!
Gruß,
Marcel
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