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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi...
Ich hab hier ein Problem mit meinen Übungsaufgaben für die Lin. Algebra Vorlesung.
Ich soll folgendes Beweisen:
geg.: es seien X,Y Teilmengen der Menge Z
1. Z \ X [mm] \subseteq [/mm] Z \ Y genau dann wenn Y [mm] \subseteq [/mm] X
2. ( X \ Y ) [mm] \cup [/mm] Y = X genau dann wenn Y [mm] \subseteq [/mm] X
Es würde mir für den Anfang auch schon eine Lösung reichen, aber beide wären natürlich besser ;)
Schon mal Danke im Voraus!
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Hallo,
kurze Vorbemerkungen :
1. A [mm] \subseteq [/mm] B
<==> (x [mm] \in [/mm] A ==> x [mm] \in [/mm] B)
<==> (x [mm] \not\in [/mm] B ==> x [mm] \not\in [/mm] A) (durch Kontraposition der vorigen Zeile)
2. Wenn Du A [mm] \subseteq [/mm] B zeigen willst, ist Deine Aufgabe zu zeigen, daß x [mm] \in [/mm] A ==> x [mm] \in [/mm] B gilt.
3. Bei "genau dann wenn" sind ==> und <== zu zeigen.
>
> Ich soll folgendes Beweisen:
> geg.: es seien X,Y Teilmengen der Menge Z
> 1. Z \ X [mm]\subseteq[/mm] Z \ Y genau dann wenn Y [mm]\subseteq[/mm] X
"==>" Es gelte Z \ X [mm]\subseteq[/mm] Z \ Y.
Sei y [mm] \in [/mm] Y
==> y [mm] \not\in [/mm] Z \ Y
Wegen Z \ X [mm]\subseteq[/mm] Z \ Y erhält man (s. Bem.1)
==>y [mm] \not\in [/mm] Z \ X
==> [mm] y\in [/mm] X
Also ist Y [mm]\subseteq[/mm] X
"<==" Es sei Y [mm]\subseteq[/mm] X.
Es sei x [mm] \in [/mm] Z \ X
==> x [mm] \in [/mm] Z und x [mm] \not\in [/mm] X
==> x [mm] \in [/mm] Z und x [mm] \not\in [/mm] Y (wegen Y [mm]\subseteq[/mm] X)
==> x [mm] \in [/mm] Z \ Y
Also ist Z \ X [mm]\subseteq[/mm] Z \ Y
Ich hoffe, daß Du deine zweite Aufgabe in Anlehnung hieran nun allein packst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Kati |
Schon mal Danke für die schnelle Antwort, aber so ganz klar ist mir das noch nicht.
Du fängst an ""==>" Es gelte Z \ X [mm] \subseteq [/mm] Z \ Y"
Dann "sei y Element von Y"
Wieso ist dann y nicht Element von Z ?
Es ist doch vorgegeben, dass Y [mm] \subseteq [/mm] Z also müsste doch auch y Element von Z sein
Ich würde verstehen wenn du schreiben würdest
y nicht Element von Z \ Y
Führt das dann vielleicht irgendwie dahin dass man sagen kann
y nicht Element von Z und y Element von Y ??
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> Schon mal Danke für die schnelle Antwort, aber so ganz klar
> ist mir das noch nicht.
>
> Du fängst an ""==>" Es gelte Z \ X [mm]\subseteq[/mm] Z \ Y"
>
> Dann "sei y Element von Y"
> Wieso ist dann y nicht Element von Z ?
>
> Es ist doch vorgegeben, dass Y [mm]\subseteq[/mm] Z also müsste
> doch auch y Element von Z sein
>
> Ich würde verstehen wenn du schreiben würdest
> y nicht Element von Z \ Y
Du hast völlig recht! Anders ist's doch der totale Quatsch!
Das \ Y ist verlorengegangen! Genau wie das \ X etwas später. Hab' wohl geträumt oder den Formeleditor falsch verwendet...
Ich verbessere es, und dann müßte alles klar sein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Kati |
Ich hab grad nochmal versucht die zweite Aufgabe zu lösen also zu beweisen dass
( X \ Y ) [mm] \cup [/mm] Y = X genau dann wenn Y [mm] \subseteq [/mm] X
Ich bin soweit gekommen:
1) es sei (X \ Y ) [mm] \cup [/mm] Y = X z. z. Y [mm] \subseteq [/mm] X
es sei a Element von Y
=> a Element von X
Also Y [mm] \subseteq [/mm] X
2) es sei Y [mm] \subseteq [/mm] X z. z. ( X \ Y) [mm] \cup [/mm] Y = X, also
i) ( X \ Y) [mm] \cup [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] X und
ii) X [mm] \subseteq [/mm] ( X \ Y ) [mm] \cup [/mm] Y
i) sei a Element von ( X \ Y) [mm] \cup [/mm] Y
also ( a Element von X und a nicht Element von Y) oder a Element von Y
- gelte a Element von X und a nicht Element von Y dann fertig
- gelte a Element von Y dann auch a Element von X, da Y [mm] \subseteq [/mm] X
ii) sei a Element von X
So, hier komm ich jetzt nicht wirklich weiter....außerdem würd ich gern mal wissen ob der Anfang stimmt...
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> Ich hab grad nochmal versucht die zweite Aufgabe zu lösen
> also zu beweisen dass
> ( X \ Y ) [mm]\cup[/mm] Y = X genau dann wenn Y [mm]\subseteq[/mm] X
>
> Ich bin soweit gekommen:
> 1) es sei (X \ Y ) [mm]\cup[/mm] Y = X z. z. Y [mm]\subseteq[/mm] X
> es sei a Element von Y
==> a [mm] \in [/mm] ( Z \ Y ) [mm] \cup [/mm] Y=X (würde ich sicherheitshalber noch zwischenschieben)
> => a Element von X
> Also Y [mm]\subseteq[/mm] X
> 2) es sei Y [mm]\subseteq[/mm] X z. z. ( X \ Y) [mm]\cup[/mm] Y = X, also
> i) ( X \ Y) [mm]\cup[/mm] Y [mm]\subseteq[/mm] X und
> ii) X [mm]\subseteq[/mm] ( X \ Y ) [mm]\cup[/mm] Y
>
> i) sei a Element von ( X \ Y) [mm]\cup[/mm] Y
> also ( a Element von X und a nicht Element von Y)
> oder a Element von Y
> - gelte a Element von X und a nicht Element von Y
> dann fertig
> - gelte a Element von Y dann auch a Element von X,
> da Y [mm]\subseteq[/mm] X
Das ist genau richtig, wenn ich es auch etwas anders aufgeschrieben hätte.
>
> ii) sei a Element von X
>
>
> So, hier komm ich jetzt nicht wirklich weiter....
Ich glaub' es ist zu einfach für Dich...
x [mm] \in [/mm] X
==> x [mm] \in [/mm] X \ Y oder x [mm] \in [/mm] Y, denn n.V. ist Y [mm] \subseteq [/mm] X
==>... Fer-tig!!!!!!!!!!!!!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 So 30.10.2005 | | Autor: | Kati |
Vielen Dank, hast mir sehr geholfen.
Gruß Kati
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 So 30.10.2005 | | Autor: | Kati |
hat sich erledigt
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