Mengen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
Ich will folgendes lösen:
Seien A, B und C Mengen. Man zeige:
A [mm] \cap (B\C) [/mm] = (A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C)
Auf welche Art kann ich dies beweisen?
Ich bin im 1. WS und außer Wahrheitstafeln haben wir bisher nur ganz wenige Beweise gemacht.
Soll ich die Ziffern 1,2,3,4,5 als Menge nehmen und die Aufgabe quasi an diesem Beispiel lösen?
Z.B. A = {1,2, 5}
B= {2,3,5}
C = {1, 2,4}
Wenn [mm] B\C [/mm] zusammen mit A den Durchschnitt bildet, dann besteht der Durchschnitt aus {5}. Wenn A und B einen Durschnitt bilden und dazu die Komplementärmenge B [mm] \cap [/mm] C besteht, dann ist {5} ebenfalls das Ergebnis. A [mm] \cap (B\C) [/mm] ist also gleichbedeutend wie (A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C).
Oh das hört sich schrecklich an (und ich glaube {5} ist auch falsch)...
|
|
| |
|
Hallo!
> Seien A, B und C Mengen. Man zeige:
> A [mm]\cap (B\C)[/mm] = (A [mm]\cap[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] C)
>
>
> Auf welche Art kann ich dies beweisen?
>
> Ich bin im 1. WS und außer Wahrheitstafeln haben wir bisher
> nur ganz wenige Beweise gemacht.
> Soll ich die Ziffern 1,2,3,4,5 als Menge nehmen und die
> Aufgabe quasi an diesem Beispiel lösen?
Merke dir dirket eins - ist ganz wichtig fürs ganze Studium: Beispiele sind keine Beweise!  (Könnte ja sein, dass du gerade ein paar Zahlen erwischst, bei denen es nur zufällig klappt.)
Nein, du musst ein allgemeines x aus der linken Menge nehmen und dann die Menge solange umformen, bis die rechte Seite quasi da steht:
[mm] $x\in A\cap(B\backslash [/mm] C) [mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in (B\backslash [/mm] C) [mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B [mm] \wedge x\notin [/mm] C$
Schaffst du den letzten minimalen Schritt jetzt alleine? (Tipp: nimm dir mal ein x aus der rechten Seite und schreibe auf, was genau das bedeutet!)
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
P.S.: Ähnliche Aufgaben wurden vor kurzem hier und hier und hier und hier diskutiert - es ist sicher eine gute Übung, sich diese mal anzugucken.
|
|
|
| |
|
Hallo Bastiane!
Erstmal herzlichen Dank für deine Antwort.
Keine Zahlen mehr, okay. Ich werde mich schon daran gewöhnen ;)
Also, ich habe jetzt als Zwischenschritte folgendes eingebaut und hoffe, dass es sowohl inhaltlich als auch die Schreibweise richtig sind:
x [mm] \in [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] B) [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) \ x [mm] \in [/mm] (A [mm] \wedge [/mm] C).
Nun würde nur noch meine rechte Seite folgen.
|
|
|
| |
|
Hallo!
> Keine Zahlen mehr, okay. Ich werde mich schon daran
> gewöhnen ;)
Och, ab und zu kommen im Mathestudium schon noch Zahlen vor, vor allem in Klausuren. Aber Beweise gehen eher nicht damit, vor allem nicht, wenn die Zahlen nur als Beispiele dienen.
> Also, ich habe jetzt als Zwischenschritte folgendes
> eingebaut und hoffe, dass es sowohl inhaltlich als auch die
> Schreibweise richtig sind:
>
> x [mm]\in[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] B) [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] C) [mm]\gdw[/mm] x
> [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) \ x [mm]\in[/mm] (A [mm]\wedge[/mm] C).
>
> Nun würde nur noch meine rechte Seite folgen.
Mmh - so ganz gut ist das immer noch nicht. Man schreibt zwar [mm] $x\in (A\cap [/mm] B)$ aber nicht [mm] $x\in (A\wedge [/mm] B)$. Denn [mm] \wedge [/mm] wird wirklich direkt in die Sprache übersetzt und bedeutet "und". Und dann stände da ja "x in A und B" und es soll ja eigentlich bedeutet: "x in A und x in B" - den Term "A und B" gibt es nicht, es gibt höchstens die Schnittmenge von A und B und diese ist dann eben genau [mm] $A\cap [/mm] B$.
Ok, jetzt also wieder zur Aufgabe:
[mm] $x\in (A\cap B)\backslash (A\cap [/mm] C) [mm] \gdw x\in (A\cap B)\wedge x\notin (A\cap [/mm] C) [mm] \gdw x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in [/mm] B [mm] \wedge x\notin (A\cap [/mm] C)$
Nun gilt aber:
[mm] $x\notin (A\cap [/mm] B) [mm] \gdw x\notin [/mm] A [mm] \vee x\notin [/mm] B$ - das ist ein Gesetz der Aussagenlogik...
Schaffst du es nun? Beachte vllt noch, dass [mm] \wedge [/mm] stärker bindet als [mm] \vee [/mm] und du deswegen um einen [mm] \vee-Ausdruck [/mm] eine Klammer setzen musst, wenn noch ein [mm] \wedge [/mm] im Ausdruck vorkommt aber nicht stärker binden soll.
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
|
