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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:23 Mo 12.06.2006 | | Autor: | TAL |
| Aufgabe | beweisen sie folgende behauptung:
jede offene menge in (R,d|.|) kann als vereinigung höchstens abzählbar vieler, paarweise disjunkter offener (gegebenenfalls halbunendlicher) Intervalle dargestellt werden |
hallo,
kann mir jemand bei der folgenden aufgabe helfen?
MFG TAL
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Folgende Idee: betrachte die konvexen Komponenten der dir gegebenen offenen Menge, nennen wir sie mal [mm] $O\subset\IR$. [/mm] Mit konvexen Komponenten meine ich die Äquivalenzklassen der (Äquivalenz-)Relation [mm] $\sim\subset O\times [/mm] O$ mit [mm] $x\sim y\gdw [x,y]\subset [/mm] O$. Sie zerlegt $O$ in eine Menge von (halb)offenen Intervallen (dass die Komponenten Intervalle sind, musst du noch zeigen). Die Tatsache, dass dies höchstens endlich viele sein können, folgt nun daraus, dass jede Komponente eine rationale Zahl enthält, es aber nur abzählbar viele rationale Zahlen gibt.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo, Hanno!
Warum erschreckst du die Leute so mit diesen komplizierten Formulierungen? Äquivalenzklassen? Konvexe Komponenten?
Das verstellt doch nur den Blick auf das Wesentliche.
Ich schlage Folgendes vor:
Es sei [mm]q_1,q_2,q_3,\ldots[/mm] eine Abzählung der rationalen Zahlen, die in der offenen Menge [mm]O[/mm] liegen (existiert, da die Menge [mm]\mathbb{Q}[/mm] und damit auch jede ihrer Teilmengen abzählbar ist). Jetzt bestimme man zu jedem [mm]k[/mm] ein offenes Intervall [mm]I_k[/mm] mit [mm]q_k \in I_k \subset O[/mm]. Das geht wegen der Offenheit von [mm]O[/mm]. Und dann wäre noch zu zeigen:
[mm]\bigcup_{k=1}^{\infty}~I_k = O[/mm]
Und für die nichttriviale Inklusion braucht man wohl, daß [mm]\mathbb{Q}[/mm] dicht in [mm]\mathbb{R}[/mm] liegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Mo 12.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Nach deiner Konstruktion muss die nichttriviale Inklusion aber nicht gelten. Sei nämlich $x$ eine beliebige irrationale Zahl aus $O$, so kann ich die [mm] $I_k$ [/mm] stets so wählen, dass [mm] $x\notin I_k$ [/mm] gilt. Daraus folgt dann auch [mm] $x\notin\bigcup_{k\in\IN} I_k$.
[/mm]
Wollen wir das beheben, müssen wir uns wieder das Maximalitätsargumentes bedienen, d.h. die [mm] $I_k$ [/mm] größtmöglich wählen. Dazu bräuchte man keine Äquivalenzrelation, aber im Prinzip wird es auf das Gleiche, nur anders formuliert, rauslaufen.
Liebe Grüße,
Hanno
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Da hat wohl einer zu viel Maßtheorie gemacht!
Aber du hast natürlich recht, man kann [mm]I_k[/mm] nicht beliebig wählen, sondern muß es als größtmögliches offenes Intervall* mit [mm]q_k \in I_k \subset O[/mm] nehmen. Da habe ich mich wohl in meinem Schlußsatz "Und für die nichttriviale Inklusion ..." nach der Methode "Der Rest ist eine leichte Übungsaufgabe für den Leser" um Entscheidendes herumgedrückt. Statt das auszuführen, was gar nicht geht, habe ich mich mit einem vermeintlich guten Gefühl "Jetzt habe ich keine Lust, das im Detail auszuführen, aber es wird schon irgendwie gehen" in falsche Sicherheit gewiegt.
Wenn man nun eine irrationale Zahl [mm]x \in O[/mm] hat, so wähle man ein offenes Intervall [mm]J[/mm] mit [mm]x \in J \subset O[/mm]. In [mm]J[/mm] liegt eine rationale Zahl [mm]q_k[/mm] und wegen der Maximalität muß dann [mm]J \subset I_k[/mm] und damit [mm]x \in I_k[/mm] gelten.
Ich hoffe, so stimmt es nun.
* Dieses ist die Vereinigung aller offenen Intervalle [mm]I[/mm] mit [mm]q_k \in I \subset O[/mm]. Diese Vereinigung ist wieder ein (offenes) Intervall, da [mm]q_k[/mm] in allen Intervallen der Vereinigung liegt.
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