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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Di 31.10.2006 | | Autor: | wibbel84 |
| Aufgabe |
Seien M,N,K Mengen. Zeigen sie, dass die drei folgenden Aussagen äquivalent sind:
K [mm] \subset [/mm] M [mm] \cup [/mm] N
( K \ M ) [mm] \cap [/mm] ( K \ N ) = [mm] \emptyset
[/mm]
( K \ M) [mm] \subset [/mm] N |
Habe absolut keine Ahnung, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Ich weiß zwar was Vereinigung und Differenz ist. das hilft mir aber auch nicht viel. Wäre über einen kleinen Tipp.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ich bezeichne die Aussagen der Reihe nach mit (1),(2),(3). Man kann dann z.B. einen Ringschluß durchführen:
[mm](1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) \Rightarrow (1)[/mm]
Natürlich kann man auch eine andere Reihenfolge im Ring wählen, wie es gerade bequem ist.
Versuchen wir einmal [mm](1) \Rightarrow (2)[/mm]. Wir setzen also voraus, daß [mm]K \subset M \cup N[/mm] gilt.
Dann folgt, wenn die Überstreichung das Komplement bezüglich einer umfassenden Menge [mm]\Omega[/mm] bezeichnet (z.B. [mm]\Omega = M \cup N[/mm]):
[mm](K \setminus M) \cap (K \setminus N) = (K \cap \overline{M}) \cap (K \cap \overline{N}) = K \cap \overline{\left( M \cup N \right)} = \emptyset[/mm]
Es kann nämlich keine gemeinsamen Elemente von [mm]K[/mm] und [mm]\overline{M \cup N}[/mm] geben, da ja alle Elemente von [mm]K[/mm] gerade [mm]M \cup N[/mm] angehören (Voraussetzung).
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