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Hallo zusammen,
wer jemand hier im Netz so freundlich und würde mir bei nachstehender Aufgabe weiterhelfen?
Gegeben seien Mengen [mm] A_{1} [/mm] , [mm] A_{2} [/mm] ,..., [mm] A_{m} [/mm] mit m [mm] \ge [/mm] 2.
Folgt aus der Eigenschaft [mm] \bigcap_{k=1}^{m} A_{k} [/mm] = [mm] \emptyset [/mm] die
paarweise Disjunktheit der Mengen [mm] A_{1} [/mm] , [mm] A_{2} [/mm] ,..., [mm] A_{m}?
[/mm]
Gilt die Umkehrung?
Begründen oder widerlegen Sie jeweils.
Ich habe leider überhaupt keine Ahnung. Weiß noch nicht einmal einen möglichen Ansatz.
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Hallo,
> Hallo zusammen,
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> wer jemand hier im Netz so freundlich und würde mir bei
> nachstehender Aufgabe weiterhelfen?
>
> Gegeben seien Mengen [mm]A_{1}[/mm] , [mm]A_{2}[/mm] ,..., [mm]A_{m}[/mm] mit m [mm]\ge[/mm]
> 2.
> Folgt aus der Eigenschaft [mm]\bigcap_{k=1}^{m} A_{k}[/mm] =
> [mm]\emptyset[/mm] die
> paarweise Disjunktheit der Mengen [mm]A_{1}[/mm] , [mm]A_{2}[/mm] ,...,
> [mm]A_{m}?[/mm]
Hmm, überlege es dir doch an einfachen Mengen:
[mm] $A_1=A_2=\{1\}, A_3=\{2\}$
[/mm]
Dann gilt [mm] $\bigcap\limits_{k=1}^{3}A_k=\{1\}\cap\{1\}\cap\{2\}=\emptyset$, [/mm] aber [mm] $A_1\cap A_2=\{1\}\neq\emptyset$, [/mm] also [mm] $A_1$ [/mm] und [mm] $A_2$ [/mm] nicht disjunkt.
> Gilt die Umkehrung?
Das überlege du nun mal ...
> Begründen oder widerlegen Sie jeweils.
>
> Ich habe leider überhaupt keine Ahnung. Weiß noch nicht
> einmal einen möglichen Ansatz.
Gruß
schachuzipus
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Mach ich, aber wieso ist denn [mm] A_{1} [/mm] = [mm] A_{2} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mo 10.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Mach ich, aber wieso ist denn [mm]A_{1}[/mm] = [mm]A_{2}[/mm] ?
Gegenbeispiel?
Es reicht ja offenbar schon (um zu zeigen, dass es nicht gilt), wenn alle bis auf eine identisch sind und diese eine disjunkt zu der (den) anderen ist.
Umkehrung? Wenn schon bei zweien im Schnitt die leere Menge herauskommt, dann...?
LG
gfm
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Wieso gilt denn [mm] A_{1} [/mm] = [mm] A_{2} [/mm] ?
und wieso gilt: [mm] A_{1} [/mm] = [mm] A_{2} [/mm] = {1} ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo firsttransfer!
Dies ist lediglich ein von gfm schachuzipus gewähltes Gegenbeispiel, um die obige Behauptung zu widerlegen.
Gruß
Loddar
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He he Loddar,
> Hallo firsttransfer!
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>
> Dies ist lediglich ein von gfm gewähltes Gegenbeispiel, um
> die obige Behauptung zu widerlegen.
Das Gegenbsp. habe ich mir ausgedacht ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]")
![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]")
>
>
> Gruß
> Loddar
>
LG
schachuzizipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo schachuzipus und gfm!
Ich habe es oben nunmehr verbessert. 
Gruß
Loddar
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Kann ich mit dem Gegenbeispiel [mm] A_{1} [/mm] = [mm] A_{2} [/mm] = {1} , [mm] A_{3} [/mm] = {2} zeigen, dass die Eigenschaft nicht folgt?
Was ist eigentlich die Umkehrung? Gilt die nicht?
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Also gilt die paarweise Disjunktheit nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mo 10.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, das Gegenbeispiel kannst du bringen, wie schon gesagt wurde.
Du hast nämlich 3 [mm] \ge [/mm] 2 Mengen und der Schnitt aller 3 Mengen ist disjunkt. Nun soll ja angeblich folgen, dass diese 3 mengen auch paarweise disjunkt sein sollen, wenn man de Aussage glaubt. Aber das stimmt ja offenbar nicht, da ein Gegenbeispiel gefunden wurde.
Nun sollst du noch die Umkehrung untersuchen. Im Klartext:
Richtig oder falsch:
Sind [mm] $A_1, [/mm] ..., [mm] A_m [/mm] (m [mm] \ge [/mm] 2)$ paarweise disjunkt, dann ist [mm] $\bigcap_{k=1}^{m}A_k=\emptyset$.
[/mm]
Falls du meinst, dass es stimmt: Beweisen! Ansonsten reicht auch wieder ein Gegenbeispiel.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
bin aber auch ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]"){kind=small}
