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Seien A,B,C Mengen und sei D= (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C und E= ( A [mm] \cup [/mm] C) [mm] \cap
[/mm]
welche der Inklusionen D [mm] \subseteq [/mm] E und E [mm] \subseteq [/mm] D ist allgemeingültig, welche nicht ? Geben sie einen beweis bzw. ein Gegenbeispiel.
Ich habe zunächst nachgewiesen dass man für
D= (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] C auch ( C [mm] \cup [/mm] A) [mm] \cap [/mm] ( C [mm] \cup [/mm] B) schreiben kann (Distributivgesetz)
genauso für E:
( B [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] ( B [mm] \cap [/mm] C)
aber irgendwie weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen muss...
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Hallo Jessica,
> Seien A,B,C Mengen und sei D= (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C und E= ( A [mm]\cup[/mm] C) [mm]\cap[/mm][mm] \green{B
}
[/mm]
> welche der Inklusionen D [mm]\subseteq[/mm] E und E [mm]\subseteq[/mm] D ist
> allgemeingültig, welche nicht ? Geben sie einen beweis
> bzw. ein Gegenbeispiel.
>
> Ich habe zunächst nachgewiesen dass man für
>
> D= (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C auch ( C [mm]\cup[/mm] A) [mm]\cap[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] B)
> schreiben kann (Distributivgesetz)
>
> genauso für E:
>
> ( B [mm]\cap[/mm] A) [mm]\cup[/mm] ( B [mm]\cap[/mm]C)
Erst einmal ganz allgemein: Wenn du so eine Aufgabe hast, mal dir erst einmal ein Diagramm, in dem sich alle drei Mengen A,B,C überschneiden. Dort zeichnest du deine beiden Mengen D und E ein - so findest du eine Vermutung. Und da eine der Inklusionen von D und E nicht gilt, wirst du dafür auch leicht ein Gegenbeispiel finden. Zur Kontrolle: Es gilt [mm] $E\subseteq [/mm] D$
Zum Nachweis dafür:
Zeige, das jedes [mm] x\in [/mm] E auch in D liegt, also [mm] $x\in E\Rightarrow x\in [/mm] D$ für alle x. Dafür ist das von dir bereits gezeigte Distributivgesetz ganz nützlich
Gruß
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hmm und wie mach ich das :/
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> hmm und wie mach ich das :/
Schau mal in Gonozals Antwort
Gruß
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Hallo Jessica,
du hast doch den Großteil der Arbeit bereits hinter dir und selbstständig erarbeitet!
> Ich habe zunächst nachgewiesen dass man für
>
> D= (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] C auch ( C [mm]\cup[/mm] A) [mm]\cap[/mm] ( C [mm]\cup[/mm] B)
> schreiben kann (Distributivgesetz)
Also, in schön:
$D = (C [mm] \cup [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C)$
und darunter schreiben wir:
$E = (C [mm] \cup [/mm] A) [mm] \cap [/mm] B$
Na nun stehts doch schon da! (Warum?)
MFG,
Gono.
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also ich würde jetzt daraus schließen dass D eine Teilmenge von E ist ... bzw. dass das allgemeingültig ist... richtig?
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> also ich würde jetzt daraus schließen dass D eine
> Teilmenge von E ist ... bzw. dass das allgemeingültig
> ist... richtig?
Nein, offensichtlich nicht. Denn wenn
$D = (C [mm] \cup [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (B [mm] \cup [/mm] C) $ und
$ E = (C [mm] \cup [/mm] A) [mm] \cap [/mm] B $, dann kann die Menge D mehr Elemente enthalten, da [mm] $B\subseteq(B\cup [/mm] C)$.
Vergleiche die Darstellungen von D und E, die du aus den Distributivgesetzen erhalten hast
Gruß
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