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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Zelda |
| Aufgabe | | Seien A und B Mengen. Vereinfachen Sie die folgenden Mengenausdrücke (mit Beweis!) |
a.) [mm] A\cup[(B\backslash A)\cap(A\backslash [/mm] B)]
Sei [mm] x\in [/mm] A [mm] \cup [(x\in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A) [mm] \wedge (x\in [/mm] A [mm] \wedge \not\in [/mm] B)]
d.h. [mm] x\in [/mm] A [mm] \cup (x\not\in [/mm] A [mm] \wedge x\not\in [/mm] B)
d.h. x [mm] \in [/mm] A
Ist das so richtig? Oder fordert der Beweis von mir auch Teilmengen-Inklusionen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Mo 07.11.2011 | | Autor: | davux |
Ich verstehe deinen Ansatz nicht ganz,
möchte sagen, der ist falsch.
Also, du gehst von [mm] $A\cup(B\cap [/mm] A)$ aus.
Das bedeutet, wenn du dir nun ein
[mm] $x\in A\cup(B\cap [/mm] A)$ herausnimmst
[mm] $\Rightarrow x\in A\vee x\in(B\cap [/mm] A)$
[mm] $\Rightarrow x\in A\vee (x\in B\wedge x\in [/mm] A)$
Wie würdest du weitermachen?
Edit#1: Vermutlich verstehe ich aber die Schreibweise nicht richtig. Wenn das der Fall ist, dann ist aber zumindest nach deinem Ansatz ein Fehler.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Zelda |
Ich sehe gerade, dass nicht alles so übertragen worden ist, wie es sein sollte. Ich korrigiere...moment
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:24 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Zelda |
Die Aufgabe ist korrigiert, habe den Befehl [mm] \backslash [/mm] bei der Eingabe vergessen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Mo 07.11.2011 | | Autor: | davux |
So ganz korrigiert ist es noch nicht, aber ich habe es im ALT-Text gesehen, was du meintest, werde es noch einmal überdenken und dann eine Rückmeldung geben, gegebenenfalls eine Antwort.
Ich verwende für das Zeichen setminus als Befehl, das ist auch einleuchtend und hilfreich. ;) Außerdem darf man das Leerzeichen nach Befehlen nicht vergessen, wenn ein Buchstabe folgt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Mo 07.11.2011 | | Autor: | davux |
[mm] $x\in A\cup((A\setminus B)\cap(B\setminus [/mm] A))$
[mm] $\Rightarrow x\in A\vee x\in((A\setminus B)\cap(B\setminus [/mm] A))$
[mm] $\Rightarrow x\in A\vee (x\in(A\setminus B)\wedge x\in(B\setminus [/mm] A))$
[mm] $\Rightarrow x\in A\vee (x\in [/mm] A [mm] \wedge x\notin B\wedge x\in B\wedge x\notin [/mm] A)$
[mm] $\Rightarrow x\in A\vee x\in [/mm] A [mm] \wedge x\in A\vee x\notin B\wedge x\in A\vee x\in B\wedge x\in A\vee x\notin [/mm] A$
Also soweit lässt es sich, denke ich, auflösen. Da habe ich jetzt ein paar Sachen rausgekürzt, die überflüssig sind:
[mm] $\Rightarrow x\in A\vee x\notin B\wedge x\in A\vee x\in [/mm] B$
Nun würde ich in der Mitte nochmal kommutativ tauschen.
[mm] $\Rightarrow x\in A\vee x\in A\wedge x\notin B\vee x\in [/mm] B$
Also das UND bindet stärker, ich finde dass [mm] $x\in [/mm] B [mm] \Rightarrow x\in [/mm] B$ am Ende auch rausfliegen kann, zumal Tautologie, und dass [mm] x\in [/mm] A zu [mm] x\in [/mm] A auch keine Alternative mehr ist.
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] A$
Also ohne Gewähr, ich tarne die Antwort mal als unvollständig. ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:59 Mo 07.11.2011 | | Autor: | Zelda |
In der vierten [mm] \Rightarrow [/mm] Zeile kann ich deine Antwort nicht nachvollziehen... weshalb stehen dort plötzlich so viele x [mm] \in [/mm] A ...?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Di 08.11.2011 | | Autor: | davux |
Ich habe die Aussage [mm] $x\in A\vee$ [/mm] mit jeder Aussage in der Klammer in direkte Beziehung gesetzt (Distributivgesetz für Mengen). Insgesamt bin ich aber wie öfter angedeutet auch noch unsicher, weil ich auf meinen letzten Beweis dergleichen, den ich hier gepostet hatte, noch keine Antwort gesichtet hatte, um mal meine Vorgehensweise abzusichern. (siehe https://matheraum.de/read?t=833132)
Mir ist aber noch etwas eingefallen. Es lässt sich wahrscheinlich in Mengenschreibweise um einiges kürzer schreiben.
Zum Beweis sollte es reichen, wenn du die Rückrichtung auch noch zeigst. Du könntest aber auch eine Wahrheitstabelle machen, wo letztendlich der ursprüngliche Ausdruck in Form einer Aussage äquivalent zum Wahrheitswert der Aussage [mm] x\in [/mm] A sein müsste.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Di 08.11.2011 | | Autor: | davux |
In Mengenschreibweise stelle ich mir das so vor:
[mm] $A\cup((A\setminus B)\cap(B\setminus [/mm] A))$
Nach Definition von [mm] \setminus
[/mm]
[mm] $=A\cup((A\cap\overline B)\cap(B\cap\overline [/mm] A))$
'Distributivgesetz' zum Ersten...
[mm] $=(A\cup(A\cap\overline B))\cap(A\cup(B\cap\overline [/mm] A))$
und zum Zweiten
[mm] $=A\cup A\cap A\cup\overline B\cap(A\cup B)\cap (A\cup\overline [/mm] A)$
Doppeltausch der Mengen, die ich geklammert haben.
[mm] $=A\cup A\cap A\cup\underbrace{\overline B\cap B}_{=\emptyset}\cup\underbrace{A\cap\overline A}_{=\emptyset}\cup [/mm] A$
Kürzen...
[mm] $=A\cup A\cap A\cup [/mm] A$
Kürzen...
[mm] $=A\cup [/mm] A$
Klar!
$=A$
Das würde ich auch gleichsam als Beweis bezeichnen. Frage ist, ob man mit frühzeitigem Kürzen den Aufwand nicht geringer hält. Und eben, ob es überhaupt produktiv war, bzw. Sinn macht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Di 08.11.2011 | | Autor: | donquijote |
> In Mengenschreibweise stelle ich mir das so vor:
>
> [mm]A\cup((A\setminus B)\cap(B\setminus A))[/mm]
> Nach Definition
> von [mm]\setminus[/mm]
> [mm]=A\cup((A\cap\overline B)\cap(B\cap\overline A))[/mm]
Warum benutzt du hier nicht für den rechten Teil das Assoziativgesetz? Dann erhältst du
[mm] ...=A\cup\emptyset
[/mm]
>
> 'Distributivgesetz' zum Ersten...
> [mm]=(A\cup(A\cap\overline B))\cap(A\cup(B\cap\overline A))[/mm]
>
> und zum Zweiten
> [mm]=A\cup A\cap A\cup\overline B\cap(A\cup B)\cap (A\cup\overline A)[/mm]
>
> Doppeltausch der Mengen, die ich geklammert haben.
> [mm]=A\cup A\cap A\cup\underbrace{\overline B\cap B}_{=\emptyset}\cup\underbrace{A\cap\overline A}_{=\emptyset}\cup A[/mm]
>
> Kürzen...
> [mm]=A\cup A\cap A\cup A[/mm]
> Kürzen...
> [mm]=A\cup A[/mm]
> Klar!
> [mm]=A[/mm]
>
> Das würde ich auch gleichsam als Beweis bezeichnen. Frage
> ist, ob man mit frühzeitigem Kürzen den Aufwand nicht
> geringer hält. Und eben, ob es überhaupt produktiv war,
> bzw. Sinn macht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:46 Mi 09.11.2011 | | Autor: | davux |
Es schreckt mich etwas ab, weil da zwei Klammern sind. Ich könnte mir eher vorstellen, die einfach nicht mit aufzuschreiben, wenn du das unter der Benutzung des Assoziativgesetzes verstehst. Dann würde im Ersten Schritt B rausfliegen und im Zweiten A, während ganz links noch A bleibt.
Ja, diese Anmerkung habe ich ja zum Ende auch noch gebracht. ;)
Aber ich habe erst alles aufgelöst, aber da sieht man mal wieder, was einem frühzeitiges Kürzen nicht alles ersparen kann.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:57 Di 08.11.2011 | | Autor: | hippias |
Der Beweis einer Mengengleichheit beinhaltet in der Regel den Nachweis zweier Inklusionen (rechte ist in linker Seite enthalten und umgekehrt). Deinen Term wuerde ich jedoch erst einmal vereinfachen, denn [mm] $A\setminus B\cap B\setminus [/mm] A=...$; danach muss man praktisch nichts mehr rechnen.
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