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| Aufgabe | A,B und C seien Untermengen einer Menge M. Beweisen oder widerlegen Sie:
a) [mm] AX(B\cupC)=(AXB)\cup(AXC)
[/mm]
b) [mm] A\(B\C)=(A\B)\C [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also nachdem ich gerade nochmal feinsäuberlich meine Hausaufgaben für den Montag von meinen Skizzierten Lösungen abpinsel. bin ich mir bei dieser Aufgabe nicht mehr so ganz sicher.
Nämlich, es reicht doch sich einfach Mengen für A,B und C auszudenken. Diese dann Einsetzen und die Aussage überprüfen, wie bei der Induktion.
A {1}, B{2}, C{3}
a) [mm] Ax(B\cupC) [/mm] = {(1,2),(1,3)}
[mm] (AxB)\cup(AxC) [/mm] = {1,2,3} ----> {(1,2),(1,3)} ungleich {1,2,3} q.e.d
[mm] b)A\(B\C) [/mm] = 1
[mm] (A\B)\C [/mm] =1 -----> 1=1 q.e.d
Ich hoffe ich hab mich nicht verrechnet. Jedenfalls wäre schön wenn da mal jemand rüberschauen könnte.
Denn Ich habe hierzu nirgends ein Beispiel finden können.
Mit freundlichen Grüßen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:09 So 28.10.2012 | | Autor: | Blitzmerker |
Hallo,
ich bins nochmal.
Irgendwie ist bei der Aufgabe etwas schief gelaufen.
a) A x (B [mm] \cup [/mm] C) = (A x B) [mm] \cup [/mm] (A x C)
b) A\ (B \ C) = (A \ B) \ C
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Blitzmerker,
> ich bins nochmal.
> Irgendwie ist bei der Aufgabe etwas schief gelaufen.
Nach einem Befehl wie \cup musst du ein Leerzeichen setzen.
[mm] $\setminus$ [/mm] erreichst du durch den Befehl \setminus.
Du kannst deine Beiträge auch nachträglich editieren, indem du auf den "Reagieren"-Button rechts unten an deinem Beitrag klickst.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Nämlich, es reicht doch sich einfach Mengen für A,B und C
> auszudenken. Diese dann Einsetzen und die Aussage
> überprüfen, wie bei der Induktion.
Die Frage ist jeweils, ob die jeweilige Gleichung für ALLE Mengen gilt. Willst du eine Behauptung widerlegen, so reicht ein solches Gegenbeispiel. Willst du eine Behauptung beweisen, so reicht ein Beispiel nicht.
> A {1}, B{2}, C{3}
(Sei nicht so sparsam mit Gleichheitszeichen...  )
> a) [mm]Ax(B\cupC)[/mm] = {(1,2),(1,3)}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm](AxB)\cup(AxC)[/mm] = {1,2,3}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Berechne zunächst [mm] $A\times [/mm] B$ und [mm] $A\times [/mm] C$.
> ----> {(1,2),(1,3)} ungleich {1,2,3} q.e.d
Schreibe in jedem Fall dazu, ob du die Aussage beweisen oder widerlegen möchtest.
> [mm]b)A\(B\C)[/mm] = 1
> [mm](A\B)\C[/mm] =1 -----> 1=1 q.e.d
Mengenklammern nicht vergessen: [mm] $\{1\}$.
[/mm]
In diesem Beispiel stimmen [mm] $A\setminus(B\setminus [/mm] C)$ und [mm] $(A\setminus B)\setminus [/mm] C$ also überein.
Im Allgemeinen gilt dies jedoch nicht. Betrachte mal Mengen A,B,C, die Elemente gemeinsam haben.
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Also kann ich a) jetzt so stehen lassen, allerdings ein wenig ausführlicher indem ich AxB und AxC vorher noch berechne.
Oder was bedeutet der Daumen nach unten?
AxB = {1} x {2} = {1,2} und AxC = {1} x {3} = {1,3}
Hab ist das falsch Gerechenet, ist doch nur das Produkt (Karthesische) = alle Elemente einer Menge mit denen einer anderen Multiplizieren.
b) Habs nochmal gerechnet mit gleichen Elementen in der Menge
A={1,2}
B={1,3}
C={1,5}
Dann wäre mein Ergebnis {1,2} = {1} also in diesem Fall ungleich. Die Aussage wäre somit falsch.
In der Begründung würde ich beide Möglichkeiten entsprechend abgrenzen, für gleiche und nicht gleiche Elemente der Menge.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also kann ich a) jetzt so stehen lassen, allerdings ein
> wenig ausführlicher indem ich AxB und AxC vorher noch
> berechne.
>
> Oder was bedeutet der Daumen nach unten?
Dass etwas nicht stimmt...
> AxB = {1} x {2} = {1,2} und AxC = {1} x {3} = {1,3}
Das stimmt nicht.
> Hab ist das falsch Gerechenet, ist doch nur das Produkt
> (Karthesische) = alle Elemente einer Menge mit denen einer
> anderen Multiplizieren.
Nein. Das karthesische Produkt von A und B ist die Menge aller Paare (a,b) von Elementen [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $b\in [/mm] B$.
Also z.B.
[mm] $A\times B=\{1\}\times\{2\}=\{(a,b)\;|\;a\in\{1\},b\in\{2\}\}=\{(1,2)\}$.
[/mm]
[mm] $A\times [/mm] B$ ist also eine einelementige Menge, deren Element das Paar (1,2) ist.
> b) Habs nochmal gerechnet mit gleichen Elementen in der
> Menge
>
> A={1,2}
> B={1,3}
> C={1,5}
>
> Dann wäre mein Ergebnis {1,2} = {1} also in diesem Fall
> ungleich. Die Aussage wäre somit falsch.
> In der Begründung würde ich beide Möglichkeiten
> entsprechend abgrenzen, für gleiche und nicht gleiche
> Elemente der Menge.
Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist im Allgemeinen falsch. Ob sie in irgendwelchen Spezialfällen doch zutrifft, brauchst du gar nicht zu untersuchen.
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