Mengen 3 < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Onepath |
| Aufgabe | | Es gilt A [mm] \subseteq [/mm] B und A [mm] \subseteq [/mm] C genau dann, wenn A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \cap [/mm] C. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zeigen muss ich doch folgendes:
A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \cap [/mm] C -> A [mm] \subseteq [/mm] B und A [mm] \subseteq [/mm] C richtig?
Meine Lösung:
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B [mm] \cap [/mm] C. Aus x [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] C folgt, dass x [mm] \in [/mm] C ist. Aus x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B folgt, dass x [mm] \in [/mm] B ist. Da x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] B ist und x [mm] \in [/mm] B [mm] \cap [/mm] C, so folgt daraus, dass x [mm] \in [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] C ist.
|
|
| |
|
> Es gilt A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C genau dann, wenn A
> [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\cap[/mm] C.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Zeigen muss ich doch folgendes:
>
> A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\cap[/mm] C -> A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C
> richtig?
Nein. Bei "genau dann, wenn" muß man immer beide Richtungen zeigen.
Zu beweisen ist
( A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C) <==> [mm]A\subseteq[/mm] B [mm]\cap[/mm] C
Dazu sind zwei Richtungen zu zeigen
1.
( A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C) ==> [mm]A\subseteq[/mm] B [mm]\cap[/mm] C
2.
[mm]A\subseteq[/mm] B [mm]\cap[/mm] C ==> ( A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C)
> Meine Lösung:
>
zu 1.
Es gelte A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C.
Zu zeigen: [mm] A\subseteq B\cap [/mm] C,
dh. es ist
zu zeigen: [mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in B\cap [/mm] C.
Beweis: Sei [mm] x\in [/mm] A.
Nach Voraussetzung ist ... und ...
Also ist [mm] x\in B\cap [/mm] C.
zu 2.
Es gelte [mm] A\subseteq B\cap [/mm] C.
zu zeigen: [mm] A\subseteq [/mm] B und [mm] A\subseteq [/mm] C,
dh. es ist
zu zeigen:
[mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] B und [mm] x\in [/mm] C
Beweis:
> Sei x [mm]\in[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B [mm]\cap[/mm] C.
Ich würde das anders schreiben:
sei [mm] x\in [/mm] A.
Nach Voraussetzung ist dann [mm] x\in B\cap [/mm] C
> Aus x [mm]\in[/mm] B [mm]\cap[/mm] C folgt,
> dass x [mm]\in[/mm] C ist.
Ja.
Und es folgt sogar noch mehr, nämlich auch, daß [mm] x\in [/mm] C.
Also haben wir:
[mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] B und [mm] x\in [/mm] C,
also
[mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] B
[mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] C,
und damit wissen wir ... und ...
> Aus x [mm]\in[/mm] A [mm]\subseteq[/mm] B folgt,
Es ist nirgends die Rede davon, daß vorausgesetzt ist, daß [mm] A\subseteq [/mm] B.
Das willst Du doch erst zeigen!
Du mußt Dir vor dem Beweisen genau aufscheiben, was Voraussetzung ist, was Du also im Verlaufe Deiner Bemühungen verwenden darfst,
und auch, was genau zu zeigen ist.
Dann kommst Du nicht so leicht durcheinander.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Onepath |
Ok
Zu beweisen ist
( A [mm] \subseteq [/mm] B und A [mm] \subseteq [/mm] C) <==> [mm] A\subseteq [/mm] B [mm] \cap [/mm] C
1. Sei nun x [mm] \in [/mm] A. Aus A $ [mm] \subseteq [/mm] $ C folgt nun, dass x [mm] \in [/mm] C ist. Aus der Voraussetzung A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B folgt nun, dass x auch [mm] \in [/mm] B ist. Folglich ist x [mm] \in [/mm] B und x [mm] \in [/mm] C, das heißt x [mm] \in [/mm] B $ [mm] \cap [/mm] $ C
2. Sei nun x [mm] \in [/mm] A. Da A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B ist folgt nun, dass x auch [mm] \in [/mm] B ist. Aus x [mm] \in [/mm] B $ [mm] \cap [/mm] $ C folgt, dass x insbesondere [mm] \in [/mm] C ist. Und da B $ [mm] \cap [/mm] $ C ist und A [mm] \subseteq [/mm] B ist, so folgt, dass A auch [mm] \subseteq [/mm] C ist.
Passts?
|
|
|
| |
|
> Soweit erstma korrekt?
Ja.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:02 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Onepath |
Passts Teil 2?
|
|
|
| |
|
> Passts Teil 2?
Hallo,
wovon sprichst Du gerade?
Bitte veranstalte kein Chaos, indem Du zitierte und beantwortete Fragen nachträglich bearbeitest.
Sonst blickt niemand mehr durch.
LG Angela
|
|
|
| |
|
> Ok
>
> Zu beweisen ist
>
> ( A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C) <==> [mm]A\subseteq[/mm] B
> [mm]\cap[/mm] C
> 2. Sei nun x [mm]\in[/mm] A. Da
> A [mm]\subseteq[/mm] B ist
Das willst Du doch erst zeigen, mußt also mithilfe der Voraussetzung davon überzeugen, daß dies richtig ist.
> folgt nun, dass x
> auch [mm]\in[/mm] B ist.
> Aus x [mm]\in[/mm] B [mm]\cap[/mm] C folgt,
> dass x
> insbesondere [mm]\in[/mm] C ist.
Das stimmt.
Ich würde das aber genauer begründen.
Was bedeutet es denn, wenn [mm] x\in B\cap [/mm] C? Es bedeutet: [mm] x\in [/mm] B und [mm] x\in [/mm] C.
> Und da B [mm]\cap[/mm] C ist
Was meinst Du damit?
Mit kommt gerade der Verdacht, daß Du [mm] A\subseteq B\cap [/mm] C völlig falsch liest.
Das ist so zu verstehen: [mm] A\subseteq (B\cap [/mm] C), also: A ist eine Teilmenge der Menge [mm] (B\cap [/mm] C).
LG Angela
> und A
> [mm]\subseteq[/mm] B ist, so folgt, dass A auch [mm]\subseteq[/mm] C ist.
>
> Passts?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Onepath |
Moment
Die Aufgabe lautete ja:
A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B und A $ [mm] \subseteq [/mm] $ C <==> $ [mm] A\subseteq [/mm] $ B $ [mm] \cap [/mm] $ C
Die Richtung A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B und A $ [mm] \subseteq [/mm] $ C => $ [mm] A\subseteq [/mm] $ B $ [mm] \cap [/mm] $ C habe ich ja bereits gezeigt.
Jetzt muss ich ja die Richtung A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B und A $ [mm] \subseteq [/mm] $ C <= $ [mm] A\subseteq [/mm] $ B $ [mm] \cap [/mm] $ C zeigen.
Folglich kann ich alles was rechts steht als Voraussetzung nutzen, um links zu bewisen. Wieso sagst du dann, ich kann B $ [mm] \cap [/mm] $ C nicht benutzen, um A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B und A $ [mm] \subseteq [/mm] $ C zu zeigen?
|
|
|
| |
|
> Jetzt muss ich ja die Richtung A [mm]\subseteq[/mm] B und A
> [mm]\subseteq[/mm] C <= [mm]A\subseteq[/mm] B [mm]\cap[/mm] C zeigen.
Hallo,
oh, Entschuldigung,
ich war wohl durcheinander gekommen mit der Richtung, die Du gerade beweisen wolltest.
>
> Folglich kann ich alles was rechts steht als Voraussetzung
> nutzen, um links zu bewisen. Wieso sagst du dann, ich kann
> B [mm]\cap[/mm] C nicht benutzen, um A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C
> zu zeigen?
Das war dann ein Fehler, ich korrigiere ihn gleich.
Wenn Du aber diese Richtung beweisen willst,
ist der Beginn
> Sei [mm] x\in [/mm] A. Da [mm] A\subseteq [/mm] B " unpassend, denn das willst Du ja erst zeigen.
Beginne mit [mm] "x\in [/mm] A ==> [mm] x\in B\cap [/mm] C" und folgere daraus die zu zeigende Behauptung.
Lies bitte die von mir editierte Antwort, ich glaub' nämlich seit eben, daß Du etwas völlig falsch verstanden hast, was auch den komischen Beginn Deines Beweises erklärt.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Onepath |
Hmm, ok ich verstehe.
Also: A $ [mm] \subseteq [/mm] $ B und A $ [mm] \subseteq [/mm] $ C <= $ [mm] A\subseteq [/mm] $ B $ [mm] \cap [/mm] $ C zeigen.
Sei x [mm] \in [/mm] A. Da A Teilmenge ist von B $ [mm] \cap [/mm] $ C ist, so folgt daraus, dass es mind. ein Elemente von A gibt, welches [mm] \in [/mm] von diesem Schnitt ist.
Eine kleine Illustration für mein Verständnis: A= {1,2} B= {2,3}C={2,4}
Folglich: A [mm] \subseteq [/mm] (B $ [mm] \cap [/mm] $ C)= {2} korrekt?
Bei C={2,3,4} wäre es: {2,3} korrekt?
Und da x [mm] \in [/mm] A, so ist auch x [mm] \in [/mm] B $ [mm] \cap [/mm] $ C, so folgt daraus, dass x auch [mm] \in [/mm] B und C sein muss.
Passts?
|
|
|
| |
|
> Also: A [mm]\subseteq[/mm] B und A [mm]\subseteq[/mm] C <= [mm]A\subseteq[/mm] B [mm]\cap[/mm]
> C zeigen.
>
Hallo,
ich glaube, wir sind dabei, ein richtiges Mißverständnis zu beseitigen:
>
> Sei x [mm]\in[/mm] A. Da A Teilmenge ist von B [mm]\cap[/mm] C ist, so folgt
> daraus, dass es mind. ein Elemente von A gibt, welches [mm]\in[/mm]
> von diesem Schnitt ist.
Nein.
A ist Teilmenge von D genau dann, wenn jedes Element, welches in A ist, auch in D ist.
In Zeichen: [mm] A\subseteq [/mm] D [mm] \gdw (x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] D)
>
> Eine kleine Illustration für mein Verständnis: A= {1,2}
> B= {2,3}C={2,4}
>
> Folglich: A [mm]\subseteq[/mm] (B [mm]\cap[/mm] C)= {2} korrekt?
Nein.
Richtig ist: (B [mm]\cap[/mm] [mm] C)=\{2\},
[/mm]
Aber A ist keine Teilmenge davon, weil nicht jedes Element, welches in A ist, auch in [mm] B\cap [/mm] C ist.
>
> Bei C={2,3,4} wäre es: {2,3} korrekt?
>
>
Sei x ein beliebiges Element aus A.
> Und da x [mm]\in[/mm] A, so ist auch x [mm]\in[/mm] B [mm]\cap[/mm] C,
Genau.
> so folgt
> daraus, dass x auch [mm]\in[/mm] B und [mm] x\in [/mm] C sein muss.
Genau.
LG Angela
|
|
|
|
