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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Onepath |
| Aufgabe | | Aus A [mm] \subseteq [/mm] B folgt, [mm] \mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P} [/mm] (B) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also
Der Teil: Aus A [mm] \subseteq [/mm] B ist meine Voraussetzung. Ich kann dies nutzen wie ich möchte richtig?
Der Teil: [mm] \mathcal{P} [/mm] (A) [mm] \subseteq \mathcal{P} [/mm] (B) ist mein Ziel. Das muss ich zeigen richtig?
Meine Idee:
Sei x [mm] \in \mathcal{P} [/mm] (A). Dann folgt aus der Voraussetzung A [mm] \subseteq [/mm] B, dass ebenfalls x [mm] \in\mathcal{P} [/mm] (B) ist.
Passts?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Sa 03.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Aus A [mm]\subseteq[/mm] B folgt, [mm]\mathcal{P}(A) \subseteq \mathcal{P}[/mm]
> (B)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Also
>
> Der Teil: Aus A [mm]\subseteq[/mm] B ist meine Voraussetzung. Ich
> kann dies nutzen wie ich möchte richtig?
Ja
>
> Der Teil: [mm]\mathcal{P}[/mm] (A) [mm]\subseteq \mathcal{P}[/mm] (B) ist
> mein Ziel. Das muss ich zeigen richtig?
Nochmal Ja
>
> Meine Idee:
>
> Sei x [mm]\in \mathcal{P}[/mm] (A). Dann folgt aus der Voraussetzung
> A [mm]\subseteq[/mm] B, dass ebenfalls x [mm]\in\mathcal{P}[/mm] (B) ist.
>
> Passts?
Dreimal Ja
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:47 Sa 03.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dass dein Ansatz korrekt ist, hat dir Fred ja schon bestätigt.
Vielleicht hilft es aber, wenn du das ganze mal sehr technisch und kleinschrittig aufschreibst.
Nehmen wir ein x aus der Menge A
Da A eine Teilmenge von B ist, liegt x natürlich auch in B.
In jede Teilmenge (also auch A) liegt in der Potenzmenge von B.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Sa 03.05.2014 | | Autor: | Onepath |
Zum Verständnis nochma ne Illustration:
A= {1,2,} B={1,2,3}
x sei 2;
[mm] \mathcal{P} [/mm] A = { [mm] \emptyset [/mm] ,1,2, {1},{2},{1,2}}
[mm] \mathcal{P} [/mm] B= { [mm] \emptyset [/mm] ,1,2,3,{1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Folglich ist ja x [mm] \in\mathcal{P} [/mm] (A) [mm] \mathcal{P} [/mm] (B)
Ferner ist A [mm] \subseteq [/mm] von [mm] \mathcal{P} [/mm] A und [mm] \mathcal{P} [/mm] B wegen {1,2,...}
Aber A ist auch [mm] \in \mathcal{P} [/mm] A und [mm] \mathcal{P} [/mm] B wegen {...{1,2}} oder nicht?
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Hallo,
> Zum Verständnis nochma ne Illustration:
>
> A= {1,2,} B={1,2,3}
>
> x sei 2;
>
> [mm] \mathcal{P}A=\{\emptyset,1,2,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}
[/mm]
1, 2 haben in der Potenzmenge nix zu suchen. Die Potenzmenge ist immer eine Menge bestehend aus Mengen. Zur Überprüfung kannst du immer mal nachschauen ob [mm] |\mathcal{P}(A)|=2^{|A|} [/mm] ist. In deinem Fall ist |A|=2 und somit ist [mm] |\mathcal{P}(A)|=2^{2}=4
[/mm]
Also:
[mm] \mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}
[/mm]
Analog erhält man
[mm] \mathcal{P}(B)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}
[/mm]
>
> [mm] \mathcal{P}(B)=\{\emptyset[/mm] ,1,2,3,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\}
[/mm]
>
> Folglich ist ja x [mm]\in\mathcal{P}[/mm] (A) [mm]\mathcal{P}[/mm] (B)
Sei also x=2. Dann ist [mm] x\notin\mathcal{P}(B) [/mm] und es ist auch nicht [mm] x\notin\mathcal{P}(A).
[/mm]
Ist aber [mm] X=\{2\}, [/mm] dann ist es richtig, dass [mm] X\in\mathcal{P}(B) [/mm] bzw [mm] \mathcal{P}(A)
[/mm]
>
> Ferner ist A [mm]\subseteq[/mm] von [mm]\mathcal{P}[/mm] A und [mm]\mathcal{P}[/mm] B
> wegen {1,2,...}
>
> Aber A ist auch [mm]\in \mathcal{P}[/mm] A und [mm]\mathcal{P}[/mm] B wegen
> {...{1,2}} oder nicht?
Dass die Menge A selbst in der Potenzmenge von der Menge A liegt ist eigentlich sofort klar. Das folgt ja nahezu direkt aus der Definition der Potenzmenge.
Liebe Grüße
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