Mengen, Abbildungen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Di 10.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
| Aufgabe | Es seien X und Y Mengen, und f: X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung. Zeigen Sie :
Es existiert eine Menge W,eine surjektive Abbildung g: X [mm] \to [/mm] W und eine injektive Abbildung h: W [mm] \to [/mm] Y derart, dass gilt: f=h [mm] \circ [/mm] g . |
Ich habe die Aufgabe gelöst, allerdings würde ich mich sehr freuen, wenn sie jemand korrektur lesen würde, da ich mir nicht sicher bin ob das als Beweis genügt.
Danke schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
f: X [mm] \to [/mm] Y
surjektive Abbildung g: X [mm] \to [/mm] W und injektive Abbildung h: W [mm] \to [/mm] Y, dass gilt f=h [mm] \circ [/mm] g
Für jedes w [mm] \in [/mm] W existiert genau ein x [mm] \in [/mm] X, sodass g(x)=w
Außerdem f(x)=y mit x [mm] \in [/mm] X, y [mm] \in [/mm] Y
h(w)= Y für alle y [mm] \in [/mm] Y höchstens eine Lösung w [mm] \in [/mm] W
Man kann für jedes w in h(w)=Y g(x) einsetzen, da jedes w mit g(x)=w abgebildet werden kann.
Also h(g(x))= Y [mm] \Rightarrow \in [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] h(g(x))=f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] (h [mm] \circ [/mm] g)=f
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:40 Mi 11.11.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
ich sehe bei dir nicht, was W, g und h überhaupt sein sollen.
Ein kleiner Hint zur Lösung der Aufgabe:
Ist f surjektiv, dann setze W=Y, g=f und [mm] $h=id_Y$. [/mm] Ueberzeuge dich nun davon, dass die gewünschten Eigenschaften erfüllt sind.
Was macht man dann wohl, wenn f nicht surjektiv ist?
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 11.11.2015 | | Autor: | Cara.M |
Seien X und Y Mengen, f:X [mm] \to [/mm] Y eine Abbildung, es existiert eine Menge W, es exestiert eine surjektive Abbildung g:X [mm] \to [/mm] W und es existiert eine injektive Abbildung h:W [mm] \to [/mm] Y
dass soll gelten f=h [mm] \circ [/mm] g h [mm] \circ [/mm] g := h(g(x))
f:X [mm] \to [/mm] Y f(x)=y y [mm] \in [/mm] Y,x [mm] \in [/mm] X
g:X [mm] \to [/mm] W g(x)=w w [mm] \in [/mm] W,x [mm] \in [/mm] X
h: W [mm] \to [/mm] Y h(w)=y y [mm] \in [/mm] Y, w [mm] \in [/mm] W
Ist das so besser ?
Die Menge W wird in h eingesetzt und bildet auf y ab.
[mm] \forall [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] X g(x)=w
f(x)=y h(g(x))=y
mit h(w)=y
da g:X [mm] \to [/mm] W surjektiv ist wird jedes w abgebildet.
Also kann man w=g(x) für w in h(w)=y einsetzen
daraus folgt h(g(x))=y
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=h(g(x)).
Das gilt da in beide Funktionen x [mm] \in [/mm] X eingesetzt wird und y [mm] \in [/mm] Y raus kommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:51 Do 12.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien X und Y Mengen, f:X [mm]\to[/mm] Y eine Abbildung, es
> existiert eine Menge W, es exestiert eine surjektive
> Abbildung g:X [mm]\to[/mm] W und es existiert eine injektive
> Abbildung h:W [mm]\to[/mm] Y
> dass soll gelten f=h [mm]\circ[/mm] g h [mm]\circ[/mm] g := h(g(x))
>
> f:X [mm]\to[/mm] Y f(x)=y y [mm]\in[/mm] Y,x [mm]\in[/mm] X
> g:X [mm]\to[/mm] W g(x)=w w [mm]\in[/mm] W,x [mm]\in[/mm] X
> h: W [mm]\to[/mm] Y h(w)=y y [mm]\in[/mm] Y, w [mm]\in[/mm] W
Mit Verlaub, das sind nur Symbole ohne jeden Sinn aneinandergreit !
Dir scheint nicht klar zu sein, was zu tun ist.
Gegeben sind Mengen X und Y und eine Abbildung f: X $ [mm] \to [/mm] $ Y .
Zeigen sollst Du:
es existiert eine Menge W , eine surjektive Abbildung g: X $ [mm] \to [/mm] $ W und eine injektive Abbildung h: W $ [mm] \to [/mm] $ Y derart, dass gilt: f=h $ [mm] \circ [/mm] $ g.
Du sollst also die Existenz von W, g und h mit den obigen Eigenschaften beweisen.
Das ist "Bastelarebeit". Aus f, X und Y sollst Du W, g und h mit den obigen Eigenschaften "basteln".
Mein Vorredner hat Dir dazu schon tipps gegeben.
FRED
>
> Ist das so besser ?
>
> Die Menge W wird in h eingesetzt und bildet auf y ab.
> [mm]\forall[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] X g(x)=w
>
> f(x)=y h(g(x))=y
> mit h(w)=y
> da g:X [mm]\to[/mm] W surjektiv ist wird jedes w abgebildet.
> Also kann man w=g(x) für w in h(w)=y einsetzen
> daraus folgt h(g(x))=y
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)=h(g(x)).
> Das gilt da in beide Funktionen x [mm]\in[/mm] X eingesetzt wird
> und y [mm]\in[/mm] Y raus kommt.
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