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| Aufgabe | Gegeben sind die Mengen N und M sowie die Abbildung f: N -> M . Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen A, B [mm] \subseteq [/mm] N gilt:
a) [mm] f|A\cup [/mm] B| = [mm] f|A|\cup [/mm] f|B|,
b) [mm] f|A\cap [/mm] B| [mm] \subseteq f|A|\cap [/mm] f|B|.
c) ist f injektiv, so gilt in (b) das Gleichheitszeichen |
Wie zeige ich, was bei a),b) und c) gefordert ist?
Ich weiß nur, dass Injektivität bedeutet, dass es zu jedem Wert aus der Zielmenge genau ein Wert aus der Definitionsmenge existiert.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Mo 15.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die Mengen N und M sowie die Abbildung f: N ->
> M . Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen A, B [mm]\subseteq[/mm] N
> gilt:
>
> a) [mm]f|A\cup[/mm] B| = [mm]f|A|\cup[/mm] f|B|,
> b) [mm]f|A\cap[/mm] B| [mm]\subseteq f|A|\cap[/mm] f|B|.
> c) ist f injektiv, so gilt in (b) das Gleichheitszeichen
> Wie zeige ich, was bei a),b) und c) gefordert ist?
Die Darstellung ist ja eine Katastrophe
Bei a) ist sicher gemeint: [mm]f(A\cup[/mm] B) = [mm]f(A) \cup[/mm] f(B).
Entspr. bei b) und c).
Zu a):
1. Zeige: ist y [mm] \in[/mm] [mm]f(A\cup[/mm] B), so ist auch y [mm] \in[/mm] [mm]f(A) \cup[/mm] f(B).
2. Zeige: ist y [mm] \in[/mm] [mm]f(A) \cup[/mm] f(B), so ist auch y [mm] \in[/mm] [mm]f(A\cup[/mm] B).
1. Zeige ich Dir mal:
Sei also y [mm] \in[/mm] [mm]f(A\cup[/mm] B). Dann gibt es ein x [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B mit: y=f(x).
Fall 1: x [mm] \in [/mm] A. Dann ist y=f(x) [mm] \in [/mm] f(A) und somit auch y [mm] \in[/mm] [mm]f(A) \cup[/mm] f(B).
Fall 2: x [mm] \in [/mm] B. Dann ist y=f(x) [mm] \in [/mm] f(B) und somit auch y [mm] \in[/mm] [mm]f(A) \cup[/mm] f(B).
FRED
> Ich weiß nur, dass Injektivität bedeutet, dass es zu
> jedem Wert aus der Zielmenge genau ein Wert aus der
> Definitionsmenge existiert.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Also wäre es zu 2)
1.Fall: Sei y [mm] \varepsilon [/mm] f(A), dann gibt es ein x [mm] \varepsilon [/mm] A mit y=f(x)
sodass y=f(x) [mm] \varepsilon [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)
2. Fall: Sei y [mm] \varepsilon [/mm] f(B), dann gibt es ein x [mm] \varepsilon [/mm] B mit y=f(x)
sodass y=f(x) [mm] \varepsilon [/mm] f(A [mm] \cup [/mm] B)
Ist das richtig?
Zu der zweiten Teilaufgabe:
Zu zeigen:
y [mm] \varepsilon [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B) -> y [mm] \varepsilon [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Dann gibt es ein x [mm] \varepsilon [/mm] A [mm] \cap [/mm] B mit y= f(x)
1. Fall: x [mm] \varepsilon [/mm] A Dann ist y=f(x) [mm] \varepsilon [/mm] f(A) und somit auch y [mm] \varepsilon [/mm] f(A) /cap f(B)
2. Fall: x [mm] \varepsilon [/mm] B Dann ist y=f(x) [mm] \varepsilon [/mm] f(B) und somit auch y [mm] \varepsilon [/mm] f(A) /cap f(B)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 15.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Also wäre es zu 2)
>
> 1.Fall: Sei y [mm]\varepsilon[/mm] f(A), dann gibt es ein x
> [mm]\varepsilon[/mm] A mit y=f(x)
>
> sodass y=f(x) [mm]\varepsilon[/mm] f(A [mm]\cup[/mm] B)
>
> 2. Fall: Sei y [mm]\varepsilon[/mm] f(B), dann gibt es ein x
> [mm]\varepsilon[/mm] B mit y=f(x)
>
> sodass y=f(x) [mm]\varepsilon[/mm] f(A [mm]\cup[/mm] B)
>
> Ist das richtig?
>
> Zu der zweiten Teilaufgabe:
>
> Zu zeigen:
>
> y [mm]\varepsilon[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B) -> y [mm]\varepsilon[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>
> Dann gibt es ein x [mm]\varepsilon[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit y= f(x)
>
> 1. Fall: x [mm]\varepsilon[/mm] A Dann ist y=f(x) [mm]\varepsilon[/mm] f(A)
> und somit auch y [mm]\varepsilon[/mm] f(A) /cap f(B)
>
> 2. Fall: x [mm]\varepsilon[/mm] B Dann ist y=f(x) [mm]\varepsilon[/mm] f(B)
> und somit auch y [mm]\varepsilon[/mm] f(A) /cap f(B)
Du bist ein Groß - Ohne - Nach -Denken -Abkupferer !!!
Ist y [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B), so ex. ein x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B mit y=f(x).
Es ist x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B, also ist y [mm] \in [/mm] f(A) und y [mm] \in [/mm] f(B)
FRED
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> Du bist ein Groß - Ohne - Nach -Denken -Abkupferer !!!
>
> Ist y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), so ex. ein x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> y=f(x).
>
> Es ist x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B, also ist y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in[/mm]
> f(B)
Hast du hiermit nicht y $ [mm] \varepsilon [/mm] $ f(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) -> y $ [mm] \varepsilon [/mm] $ f(A) $ [mm] \cup [/mm] $ f(B) gezeigt anstatt y $ [mm] \varepsilon [/mm] $ f(A $ [mm] \cap [/mm] $ B) -> y $ [mm] \varepsilon [/mm] $ f(A) $ [mm] \cap [/mm] $ f(B) zu zeigen?
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Mo 15.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Du bist ein Groß - Ohne - Nach -Denken -Abkupferer !!!
> >
> > Ist y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), so ex. ein x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> > y=f(x).
> >
> > Es ist x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B, also ist y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in[/mm]
> > f(B)
>
> Hast du hiermit nicht y [mm]\varepsilon[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B) -> y
> [mm]\varepsilon[/mm] f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) gezeigt anstatt y [mm]\varepsilon[/mm]
> f(A [mm]\cap[/mm] B) -> y [mm]\varepsilon[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) zu zeigen?
y $ [mm] \in [/mm] $ f(A) und y $ [mm] \in [/mm] $f(B) [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Alles Klar ?
FRED
> >
> > FRED
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Mo 15.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi MatheDell,
> > > Du bist ein Groß - Ohne - Nach -Denken -Abkupferer !!!
> > >
> > > Ist y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), so ex. ein x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> > > y=f(x).
> > >
> > > Es ist x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B, also ist y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in[/mm]
> > > f(B)
> >
> > Hast du hiermit nicht y [mm]\varepsilon[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B) -> y
> > [mm]\varepsilon[/mm] f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) gezeigt anstatt y [mm]\varepsilon[/mm]
> > f(A [mm]\cap[/mm] B) -> y [mm]\varepsilon[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) zu zeigen?
>
>
> y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in [/mm]f(B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
nebenbei: $y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cup [/mm] f(B) [mm] \iff [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \textbf{ oder } [/mm] y [mm] \in f(B)\,.$
[/mm]
Bei Fallunterscheidungen kannst Du auch immer lesen:
Es gilt der erste Fall oder es gilt der zweite Fall oder ...
Beachte, dass die Fälle sich einander NICHT AUSSCHLIEßEN müssen - das mathematische
"oder" ist ein "und-einschließendes" 'oder'!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:12 Mo 15.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hi MatheDell,
>
> > > > Du bist ein Groß - Ohne - Nach -Denken -Abkupferer !!!
> > > >
> > > > Ist y [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B), so ex. ein x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B mit
> > > > y=f(x).
> > > >
> > > > Es ist x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B, also ist y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in[/mm]
> > > > f(B)
> > >
> > > Hast du hiermit nicht y [mm]\varepsilon[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B) -> y
> > > [mm]\varepsilon[/mm] f(A) [mm]\cup[/mm] f(B) gezeigt anstatt y [mm]\varepsilon[/mm]
> > > f(A [mm]\cap[/mm] B) -> y [mm]\varepsilon[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) zu zeigen?
> >
> >
> > y [mm]\in[/mm] f(A) und y [mm]\in [/mm]f(B) [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
>
> nebenbei: [mm]y \in f(A) \cup f(B) \iff y \in f(A) \textbf{ oder } y \in f(B)\,.[/mm]
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> Bei Fallunterscheidungen kannst Du auch immer lesen:
> Es gilt der erste Fall oder es gilt der zweite Fall oder
> ...
>
> Beachte, dass die Fälle sich einander NICHT AUSSCHLIEßEN
> müssen - das mathematische
> "oder" ist ein "und-einschließendes" 'oder'!
Hallo Marcel,
und was ist ein "und-oder- nichteinschlißendes vielleicht"
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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